Salut je veux de l'aide j'ai un ptit exos que j'arrive pas le voici:
Démontrer par récurrence que, par touts nombres réels a1,a2,...,an strictement positifs:
ln(a1a2...an)= lna1 + lna2 + ...+ lnan
Merci d'avance c'est tres urgent

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Réponses

2014-01-20T23:58:59+01:00
Bonsoir,

Nous savons que pour tous les réels r et s strictement positifs, alors ln(rs) = ln(r) + ln(s).

Démontrons par récurrence que  ln\ (a_1a_2...a_n)= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)

Initialisation

ln\ (a_1a_2) = ln\ (a_1) + ln\ (a_2)  (en utlisant la propriété énoncée)

Hérédité

Démontrons que si la relation est vraie au rang n, alors elle est encore vraie au rang (n+1),

c'est-à-dire 

Démontrons que si 
ln\ (a_1a_2...a_n)= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)
Alors  ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)+ ln\ (a_{n+1})

En effet, 

ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})=ln\ [(a_1a_2...a_n)\times a_{n+1}]

ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})=ln\ (a_1a_2...a_n)+ln\ a_{n+1}  (en utlisant la propriété énoncée)


 ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})= [ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)]+ ln\ (a_{n+1}) 
(en utlisant l'hypothèse de récurrence)

Par conséquent,

ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})=ln\ (a_1a_2...a_n)+ln\ a_{n+1} 

L'initialisation étant démontrée ainsi que l'hérédité, nous en déduisons que

ln\ (a_1a_2...a_n)= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)

 pour tous nombres réels a1,a2,...,an strictement positifs
merci beaucoup.Merci infiniment j'ai compris