Bonjour,

J'ai un exercice à corriger que j'ai pas bien réussi, à vrai dire j'ai eu faux à tout car j'ai pas bien compris.

Merci d'avance pour l'éclaircissement ce cette exercice de votre part !

(oo = infini)

Exercice.

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=X²-2X-3.

1) Démontrer que la fonction f est décroissante sur ]-oo;1]
2) Démontrer que la fonction f est croissante sur [1;+oo]

( Indications : Soit u et v deux réels tels que u < v. Etudier le signe de la différence f(u) - f(v).
Factoriser l'expression obtenue par (u-v). )

3) Dresser le tableau de signe de la fonction f.
( Indications : Factoriser l'expression de f sachant que X²-2X-3 = X²-2X+1-1-3 )


Voilà pour l'exercice, j'espère sincèrement que vous allez m'aider à résoudre l'exercice.

Cordialement, une personne qui cherche une solution à cette exercice en mode DETERMINER mais qui trouve rien.

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Réponses

2014-01-14T13:59:14+01:00
En utilisant l'indication (sinon le plus simple est de dériver mais bon...) :
Soit u et v deux réels tels u<v et u et v € (appartiennent) ]-oo;1] :
On a f(u)-f(v)=u²-v²-2(u-v)=(u-v)(u+v)-2(u-v)=(u-v)(u+v-2). Or u<1 et v<1 donc u+v<2
Par hypothèse u-v<0 et u+v-2<0 donc le produit est >0.
On a donc u<v => f(u)>f(v) donc f est décroissante sur ]-oo;1]
Sur [1;+oo[ : u+v-2>0 donc f(u)-f(v)<0 d'ou u<v => f(u)<f(v) donc f est croissante sur [1;+oo[.
f(x)=x²-2x+1-1-3=(x-1)²-4=(x+1)(x-3) après c'est facile d'étudier le signe de (x+1) et (x-3) et d'en déduire le signe de f.