Bonsoir,
j'ai besoin d'aide dans ce devoir maison de maths...
Comme Ф²-Ф-1=0, on a donc : Ф²=Ф+1; Ф^3=2Ф+1; Ф^4=3Ф+2; Justifier ces égalités et calculer de même Ф^5 et Ф^6 en fonction de Ф.

Quels sont les coefficients de Ф dans les puissances successives de Ф (Ф, Ф², Ф^3 etc...)?
Que vous rappelle ces nombres?

je précise que Ф est phi (nombre d'or)

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Réponses

2014-01-11T21:39:08+01:00
Bonsoir

\phi^2-\phi+1=0\Longrightarrow\phi^2=\phi+1\\\\\phi^3=\phi\times\phi^2\\\\\Longrightarrow\phi^3=\phi\times(\phi+1)\\\\\Longrightarrow\phi^3=\phi^2+\phi\\\\\Longrightarrow\phi^3=(\phi+1)+\phi\\\\\Longrightarrow\phi^3=2\phi+1

\phi^4=\phi\times\phi^3\Longrightarrow\phi^4=\phi(2\phi+1)\\\\\Longrightarrow\phi^4=2\phi^2+\phi\\\\\Longrightarrow\phi^4=2(\phi+1)+\phi\\\\\Longrightarrow\phi^4=2\phi+2+\phi\\\\\Longrightarrow\phi^4=3\phi+2

\phi^5=\phi\times\phi^4\Longrightarrow\phi^5=\phi(3\phi+2)\\\\\Longrightarrow\phi^5=3\phi^2+2\phi\\\\\Longrightarrow\phi^5=3(\phi+1)+2\phi\\\\\Longrightarrow\phi^5=3\phi+3+2\phi\\\\\Longrightarrow\phi^5=5\phi+3

\phi^6=\phi\times\phi^5\Longrightarrow\phi^6=\phi(5\phi+3)\\\\\Longrightarrow\phi^6=5\phi^2+3\phi\\\\\Longrightarrow\phi^6=5(\phi+1)+3\phi\\\\\Longrightarrow\phi^6=5\phi+5+3\phi\\\\\Longrightarrow\phi^6=8\phi+5

Les coefficients de  \phi dans les puissances successives de  \phi  sont  1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; ...
Ces coefficients sont les nombres de Fibonacci.