Bonsoir je bloque sur une question

Dans un repère orthonormé, P est la parabole d'équation y=2x²-5x-3. d est la droite d'équation y=x+p

1) Pour quelle valeur de p, P et d ont elles un seul point commun, A? (j'ai trouvé -15/2)


2)Démontrez que dans ce cas d est la tangente à P.

merci

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Réponses

2014-01-06T22:53:56+01:00
Bonsoir,

1) Résolvons le système composé par les deux équations et imposons que ce système n'admette qu'une seule solution.

\left\{\begin{matrix}y=2x^2-5x-3\\y=x+p\end{matrix}\right.\\\\2x^2-5x-3=x+p\\\\2x^2-6x-3-p=0

Puisque le système ne doit admettre qu'une seule solution, cette équation du second degré ne doit admettre qu'une seule solution.
Son discriminant est donc égal à 0.

\Delta=(-6)^2-4\times2\times(-3-p)\\=36-8(-3-p)\\=36+24+8p\\=60+8p

\Delta=0\\\\60+8p=0\\\\8p=-60\\\\p=-\dfrac{60}{8}\\\\p=-\dfrac{15}{2}

La solution de cette équation est alors : 

x=\dfrac{6}{2\times2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}



et  y=x+p=\dfrac{3}{2}-\dfrac{15}{2}\\\\y=-\dfrac{12}{2}\\\\y=-6.


Les coordonnées du point A sont  A(\dfrac{3}{2};-6)

2) Une équation de la tangente en A est de la forme : y=f'(a)(x-a)+f(a)

a = 3/2
f(a) = -6
f '(x) = (2x² - 5x - 3)² = 4x - 5  
      ====>  f'(a) = f'(\dfrac{3}{2})=4\times\dfrac{3}{2}-5=6-5=1

L'équation de la tangente en A est donc : 

y=1(x-\dfrac{3}{2})-6\\\\y=x-\dfrac{3}{2}-\dfrac{12}{2}\\\\y=x-\dfrac{15}{2}

Or la droite d admet comme équation : 

y = x + p

y = x - 15/2   (puisque p = -15/2).

La droite d est donc la tangente à la parabole au point A.