Bonjour Besoin d'aide sur un devoir sur la fonction inverse .Soir f une fonction à valeurs strictement positives, définie sur R. On définit une autre fonction g sur R par :g(x)= 1- \frac{1}{f(x)} [/tex]
a) Montrer que si, si f est strictement croissante sur un intervalle I, alors g est strictement croissante sur I.
b) Montrer que si, si f est strictement décroissante sur un intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I.


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Réponses

2014-01-06T15:56:36+01:00
a) Montrer que si f est strictement croissante sur un intervalle I, alors g est strictement croissante sur I.
Soit a et b appartiennent à I tel que a ≤ b.
Supposons que f soit strictement croissante sur un intervalle I
a ≤ b

f (a) ≤  f (b) car f est strictement croissante sur I
1 / f (a) ≥ 1 / f (b)   
-1 / f (a) ≤  -1 / f (b)  
1 - 1/ f (a) ≤ 1 - 1 / f (b)  

g (a) ≤ g (b)

Donc a ≤ b
Soit  g (a) ≤  g (b) alors g est strictement croissante sur I
 
b) Montrer que si f est strictement décroissante sur un intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I
Soit a et b appartenant à I tel que a < b.
Supposons que f soit strictement décroissante sur un intervalle I
a ≤  b
f (a) ≥ f(b) f est strictement décroissante sur I
1 / f (a) ≤ 1 / f (b)  
-1 / f (a)  ≥ -1 / f (b)
1 - 1 / f (a) ≥ 1 - 1 / f (b)  

g (a) ≥ g (b)

Donc a ≥ b
Soit  g(a) ≥ g(b) alors g est strictement décroissante sur I