Bonjour je suis en terminale S et jai un exercice en spé maths que je n'arrive pas a faire. Est ce que vous pouvez m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance.
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Soit p un nombre premier. On note alpha l’exposant de p dans la décomposition de a et beta l’exposant de p dans la décomposition de b.
1. Etablir que si alpha<beta , alors l’exposant de p dans la décomposition de a + b est alpha .
2. La réciproque de l’implication précédente est-elle vraie ?

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par Marianavarrohuerto
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on traduit  l'énoncé par    

a= p^∝   *   c   et     b= p^β   *  d    

p ne   divisant  ni c  ni d

si  α<β   alors    β=α+n    

a+b=   p^∝   *   c   +   p^(α+n)      *  d    = p^∝  ( c  + p^n *  d )  

p ne   divisant  ni c  ni d  il ne divise pas   c  + p^n *  d

on en déduit que  l’exposant de p dans la décomposition de a + b est α

2) si  a= p^∝   *   c   ;        b= p^β   *  d       et     a+b=  p^∝   *   e ; p ne   divisant  ni c  ni d  ni e    

alors       p^∝   *   c  +  p^β   *  d  =  p^∝   *   e

d'où    p^β   *  d =  p^∝   *   (e -c)  

supposons que    β≤α   alors       α = β + k  

p^β   *  d =  p^(  β + k ) *   (e -c)    et   d=  p^k *(e-c)  

d serait alors  multiple de p   ce qui est impossible  

d'où   α<β

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