Je suis en terminale, j'ai une petite question à propos du théorème de Rolle. La question est la suivante:

Soit f la fonction définie par: f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)
Montrer que l'équation: f'(x)=0 admet exactement trois solutions dans R.

J'ai deux réponses, la première: lorsque j'utilise le théorème, je prouve qu'il existe au moins 3 solutions appartenant à R, mais pas uniquement.
La deuxième réponse, je calcule la dérivée de f et je trouve la première racine pour me trouver avec un polynôme du 2ème degré et je prouve qu'il y a deux autres solutions.

Je veux savoir s'il y a une méthode avec laquelle je peux prouver qu'il existe uniquement 3 solutions en utilisant juste le théorème de Rolle. Merci d'avance.

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par Sassiouisalma
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Réponses

sassiouisalma
laurance
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laurance
  • laurance
  • Génie

Soit f la fonction définie par: f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)

Montrer que l'équation: f'(x)=0 admet exactement trois solutions dans R.

Tout d'abord  f(x) est   un polynôme de degré  4

donc  f 'tx)  est de degré  3    d'où  l'équation f '(x)= 0 a AU PLUS  3 solutions.

D'aprés le th de ROLLE  

f(-3)= f(-2)=0    donc  il existe  c1   entre   -3  et  -2  tel que   f'(c1)=0  

f(-2)=f(-1)=0     donc  il existe  c2  entre   -2  et  -1  tel que   f'(c2)=0

f(-1)=f(0)=0    donc  il existe  c3   entre   -1  et  0  tel que   f'(c3)=0

l'équation f'(x)=0   a donc AU MOINS   3 solutions  

Conclusion  :  l'équation   f '(x)=0  a EXACTEMENT  3 solutions

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sassiouisalma
Je ne savais pas qu'on pouvait dire qu'un polynôme d'un n degré a au plus n solutions. Alors merci beaucoup Laurance!
croisierfamily
un polynôme de degré n a en général n solutions distinctes dans IR . Exemple : x³ - 5x² + 3x + 9 = (x+1)(x²-6x+9) = (x+1)(x-3)² admet trois solutions --> x = -1 ( solution "simple" ) ; x = +3 qui est une solution double ! ♥
croisierfamily
remarque : Rolle n' était pas seul pour ce théorème, il y avait aussi Monsieur Roque ... --> théorème de Roque and Rolle ... ok, je sors ! ☺
sassiouisalma
merciiii beaucoup croisierfamily <3
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