Bonjour, je dois faire cet exercice pour un devoir de maths mais je n'y arrive pas, pourriez vous m'aider ?

Exercice suivant :
Un cycliste part d'une ville A à la vitesse de 30 km par heure pour rejoindre une ville B, puis il revient vers A à la vitesse de x km/h.

1) Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller retour lorsque la vitesse du retour est de 40 km/h. ( on nous donne un conseil : Introduire la distance D entre les villes A et B et exprimer la durée totale du parcours. )

2) Montrer que la vitesse moyenne sur le trajet total est :
v(x) = (60x) / (x+30).

3) Pour quelle valeur de x la vitesse moyenne sera supérieure à 40 km/h.

4) La vitesse moyenne peut elle dépasser les 60 km/h ?

Merci d'avance.

1

Réponses

2014-01-03T00:07:21+01:00
Bonsoir,

1) Soit D la distance en km entre les deux villes et t la durée du trajet aller et retour (en heures).

Alors la vitesse moyenne est  v_m=\dfrac{2D}{t}

Si t_1 est la durée du trajet aller (en heures), alors   t_1=\dfrac{D}{30}

Si t_2 est la durée du trajet retour (en heures), alors   t_2=\dfrac{D}{40}

On sait que  t=t_1+t_2

Donc la vitesse moyenne pour l'aller et retour est égale à 

v_m=\dfrac{2D}{t}=\dfrac{2D}{t_1+t_2}=\dfrac{2D}{\dfrac{D}{30}+\dfrac{D}{40}}=\dfrac{2D}{\dfrac{40D+30D}{30\times40}}=\dfrac{2D}{\dfrac{70D}{1200}}=2D\times\dfrac{1200}{70D}\\\\\\=\dfrac{2400D}{70D}=\dfrac{240}{7}\approx34,28

La vitesse moyenne est environ égale à 34,28 km/h.

2)  v(x)=\dfrac{2D}{\dfrac{D}{30}+\dfrac{D}{x}}=\dfrac{2D}{\dfrac{xD+30D}{30x}}=\dfrac{2D}{\dfrac{(x+30)D}{30x}}=2D\times\dfrac{30x}{(x+30)D}\\\\\\=\dfrac{60xD}{(x+30)D}=\dfrac{60x}{x+30}

3) \dfrac{60x}{x+30}\ge40\\\\60x\ge40(x+30)\\\\60x\ge40x+1200\\\\60x-40x\ge1200\\\\20x\ge1200\\\\x\ge60

La vitesse moyenne (aller et retour) sera supérieure à 40 km/h si la vitesse pour le retour est supérieure à 60 km/h.

4) \dfrac{60x}{x+30}\ge60\\\\60x\ge60(x+30)\\\\60x\ge60x+1200\\\\60x-60x\ge1200\\\\0\ge1200\\\\impossible.

Il est donc impossible que la vitesse moyenne (aller et retour) soit supérieure à 60 km/h.