Etant donné un triangle ABC, soit G le point défini par l'égalité (E) :
2GA(vecteur) + 5GB(vecteur) + 3GC(vecteur) = 0(vecteur)

1) a) Montrer que l'égalité (E) équivaut à :
AG(vecteur) =  \frac{5AB(vecteur)+3AC(vecteur)}{10} =  \frac{1}{2}AB(vecteur) + \frac{3}{10}AC(vecteur)

b) Construire le point G, après avoir tracé un triangle ABC

2) Etant donné un point M quelconque du plan, soit N le point défini par l'égalité :
MN(vecteur) = 2MA(vecteur) + 5MB(vecteur) + 3MC(vecteur)

a) Marquer un point M quelconque, puis construire N .

b) Démontrer que les points M, G et N sont alignés

3) Soit I le point défini par l'égalité (E') :
2IA(vecteur) + 5IB(vecteur) = 0(vecteur)
a) Montrer que l'égalité (E') équivaut à une égalité de la forme AI(vecteur) = kAB(vecteur), où k est un nombre que l'on déterminera.

b) Construire I sur la figure

c) Démontrer que les points C,G et I sont alignés.

On démontrera, à l'aide des égalités (E) et (E') , que les vecteurs GI(vecteur) et GC (Vecteur) sont colinéaires
MERCI D'AVANCE

1

Réponses

2014-01-03T12:12:33+01:00
Bonjour,

1)
a)On utilise la relation de Chasles :
2\vec{GA} +5\vec{GB} +3\vec{GC} = \vec 0\\ 2\vec{GA} +5\vec{GA} +5\vec{AB} +3\vec{GA} +3\vec{AC} = \vec 0\\
10\vec {GA} +5\vec{AB} +3\vec{AC} = \vec 0\\
10 \vec {AG} = 5\vec{AB} +3\vec{AC}\\
\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} + \frac 3{10} \vec {AC}

b)Il faut commencer par tracer la droite d'équation x = 1/2 dans le repère (A ; AB ; AC), c'est à dire la parallèle à (AC) passant par le milieu J de AB, puis placer le point G tel que JG = 1/3 AC (vecteurs).

2)
a)Il faut utiliser la méthode vue au 1)b) pour construire le point N
b)
b)Il s'agit de montrer que les vecteurs MG et MN sont colinéaires. On utilise la relation de Chasles :
\vec{MG} = \vec{MA}+\vec{AG}\\
\vec{MG} = \vec{MA} +\frac 12 \vec{AB} +  \frac{3}{10} \vec{AC}\\
\vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+ 5 \vec{AB} +3\vec{AC}\right)\\
\vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+ 5 \vec{AB} +3\vec{AC}\right)\\
\vec{MG} =  \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+ 5\vec{MA}+5 \vec{AB} +3\vec{MA}+3\vec{AC}\right)\\
\vec{MG} =  \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+ 5\vec{MB} +3\vec{MC}\right)\\
\vec{MG} = \frac {1}{10} \vec{MN}

Les vecteurs MG et MN sont colinéaires, donc M, G et N sont alignés.

3)
a)
2\vec{IA} +5\vec{IB} = \vec 0\\
2\vec{IA} +5\vec{IA} +5\vec{AB} =0\\
-7\vec{AI} =- 5\vec{AB}\\
\vec{AI} = \frac 57 \vec{AB}

b)Même méthode que pour le 1)b).
c)
On utilise l'égalité (E') pour exprimer le vecteur GI en fonction de AB et de AC :
\vec{AI} = \frac 57 \vec{AB}\\
\vec{AG}+\vec{GI} = \frac 57 \vec{AB}\\
\vec{GI} = \frac 57 \vec{AB} -\frac 12 \vec{AB} -\frac{3}{10} \vec{AC}\\
\vec{GI} = \frac {3}{14} \vec{AB} -\frac{3}{10} \vec{AC}

On utilise (E) pour exprimer GC en fonction de AB et de AC :
\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} +\frac{3}{10} \vec{AC}\\
\vec{CA}+\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} -\frac{7}{10} \vec{AC}\\
\vec{CG} = \frac 12 \vec{AB} -\frac{7}{10} \vec{AC}\\
\vec{GC} = -\frac 12 \vec{AB} +\frac{7}{10} \vec{AC}\\
\vec{GC} =- \frac 73 \left(\frac{3}{14} \vec{AB}- \frac{3}{10} \vec{AC}\right)\\
GC = -\frac 73 \vec{GI}

Les vecteurs GC et GI sont colinéaires, donc les points G, I et C sont alignés.

Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
MERCIIIIII :D Tu es vraiment sympa ;*
Je t'en prie! =)
Mais pour le 2)a) je n'y arrive pas vraiemnt :/
Il faut tracer plusieurs parallèles. Une première droite parallèle à (MA) qui passe par le point M, sur laquelle on place un point M' tel que MM' = 2MA, puis ensuite tracer une parallèle à (MB) passant par M' et placer le point M'' tel que M'M'' = 5MB, etc.
Merci beaucoup :D