ABC est un triangle quelconque. Soit H l'orthocentre, O le centre du cercle circonscrit et G le centre de gravité.
On veut démontrer que les points G, H et O sont alignés.
Soit D le point du cercle circonscrit tel que [AD] soit un diamètre

1) Montrer que (CD)//(BH) et que (BD)//(CH).
2) En déduire la nature du quadrilatère BDCH.
3) Soit I le milieu de [BC]. Justifier que I est le milieu de [DH].
4) Que représente la droite (AI) pour le triangle ABC ?
5)Que représente la droite (AI) pour le triangle AHD ?
6) Justifier que les triangles ABC et AHD ont le même centre de gravité.
7) Que représente la droite (OH) pour le triangle AHD ?
8) En deduire que les points G,H et O sont alignés.

Je comprends rien !!!

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Réponses

2013-12-31T20:38:45+01:00
1)Commencer par démontrer que le triangle ACD est triangle en C :
- son hypoténuse [AD] est le diamètre du cercle circonscrit
- le milieu de l'hypothèse est le centre O du cercle circonscrit
D'où le triangle ACD est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre [AD] l'un de ses côtés [AD] alors ce triangle est rectangle en C et en conséquence DC est perpendiculaire à AC
BH est perpendiculaire à AC par construction
Les droites (DC) et (BH) étant perpendiculaire à la même droite(CA) alors elles sont parallèles : DC // BH.
Commencer par démontrer que le triangle ABD est triangle en B :
- son hypoténuse [AD] est le diamètre du cercle circonscrit
- le milieu de l'hypothèse est le centre O du cercle circonscrit
D'où le triangle ABD est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre [AD] l'un de ses côtés [AD] alors ce triangle est rectangle en B et en conséquence BD est perpendiculaire à AB
CH est perpendiculaire à AB par construction
Les droites (DB) et (CH) étant perpendiculaires à la même droite(AB) alors elles sont parallèles : BD // CH.
2) Comme BD // CH et BH // DC alors on peut en déduire que BDCH est un quadrilatère, un parallélogramme.
3) Soit I milieu de BC. Justifier que I est le milieu de [DH]
effectivement puisque les droites CB et DH sont les diagonales du parallélogramme  BDCH qui se coupent en leur milieu I.
4) Une droite issue du sommet A au milieu du côté opposé BC est une médiane du triangle ABC.
5) Une droite issue du sommet A au milieu du côté opposé HD est une médiane du triangle AHD.
6)  Les médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité du triangle. Comme le triangle ABC et AHD ayant une médiatrice commune alors les deux triangles ont le même centre de gravité, G.
7) OH est la droite issue du sommet H du triangle AHD jusqu'au milieu du côté opposé AD (O étant le centre du cercle circonscrit et milieu du diamètre AD).
8) HO médiane de AHD passe par G d'où l'alignement de G,H et O c'est ce qu'on appelle la droite d'Euler.
Franchement merci !! Tu m'as beaucoup aidé !!