La fonction g est définie, pour tout x différent de 0 par g(x)=2/x
On appelle H sa représentation graphique.
1) Déterminer, s'ils existent, les coordonnées des points de la courbe H en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y = -2x+3
2) Soit a un réel non nul. Ecrire, en fonction de a, une équation de la tangente à H au point A d'abscisse a.
3) Soit M le point de coordonnées (-4;4)
a) Montrer qu'il existe deux tangentes à la courbe H passant par M.
b) Pour chacune d'elles, déterminer les cordonnées du point de contact et en donner une équation.
4) Y a t-il une ou plusieurs tangentes à H passant par P(1;0) ? Et par l'origine du repére ?

Merci à ceux qui m'aideront :)

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-12-31T00:21:42+01:00
Bonsoir,

1) Le coefficient directeur de la droite est égal à -2

Il faut donc résoudre l'équation : g '(x) = -2

\dfrac{-2}{x^2}=-2\\\\-2=-2x^2\\\\x^2=1\\\\x=1\ \ ou\ \ x=-1

Si x = 1, alors g(x) = 2/1 = 2.
Si x = -1, alors g(x) = 2/(-1) = -2

Les coordonnées des points de la courbe H en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y = -2x+3 sont (1 ; 2) et (-1 ; -2).

2) Une équation de la tangente T est de la forme : y = g'(a)(x - a) + g(a)

Or  
g'(a)=\dfrac{-2}{a^2}\ \ et\ \ g(a)=\dfrac{2}{a}

Donc 

T:y=\dfrac{-2}{a^2}(x-a)+\dfrac{2}{a}\\\\T:y=\dfrac{-2}{a^2}x-(\dfrac{-2}{a^2})\times a+\dfrac{2}{a}\\\\T:y=\dfrac{-2}{a^2}x+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{a}\\\\T:y=\dfrac{-2}{a^2}x+\dfrac{4}{a}

3 a) Une branche de l'hyperbole se situe dans la partie du plan située entre les deux directions positives des axes du repère et l'autre
 branche de l'hyperbole se situe dans la partie du plan située entre les deux directions négatives des axes du repère.

Le point M(-4 ;4) se situe dans la partie du plan située entre la partie négative de l'axe des abscisses et la partie positive de l'axe des ordonnées.

Ce point M est donc extérieur à l'hyperbole.
Par ce point, il existera donc une tangente à chaque branche de l'hyperbole, soit deux tangente à H.

b) Exprimons que le point M(-4 ; 4) appartient à la tangente T:y=\dfrac{-2}{a^2}x+\dfrac{4}{a}

4=\dfrac{-2}{a^2}(-4)+\dfrac{4}{a}\\\\4=\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{4}{a}\\\\\dfrac{4a^2}{a^2}=\dfrac{8}{a^2}+\dfrac{4a}{a^2}\\\\4a^2=8+4a\\\\a^2=2+a\\\\a^2-a-2=0\\\\\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-2)=1+8=9

a_1=\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=-1\ \ ou\ \ a_2=\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2

Si a = -1, alors g(a) = 2/(-1) = -2
Le point de contact est (-1 ; -2).

Une équation de la tangente sera :  T_1:y=\dfrac{-2}{(-1)^2}x+\dfrac{4}{-1}

soit   T_1:y=-2x-4

Si a = 2, alors g(a) = 2/2 = 1
Le point de contact est (2 ; 1).

Une équation de la tangente sera :  T_2:y=\dfrac{-2}{2^2}x+\dfrac{4}{2}

soit   T_2:y=\dfrac{-1}{2}x+2

4) a) Exprimons que le point P appartient à la tangente.

0=\dfrac{-2}{a^2}\times1+\dfrac{4}{a}\\\\0=\dfrac{-2}{a^2}+\dfrac{4}{a}\\\\\dfrac{2}{a^2}=\dfrac{4}{a}\\\\\dfrac{2}{a^2}=\dfrac{4a}{a^2}\\\\2=4a\\\\a=\dfrac{1}{2}

Puisque nous n'avons trouvé qu'une seule valeur de a, il n'existera qu'une seule tangente à H passant par le point P.

b) Exprimons que (0 ; 0) appartient à la tangente.

0=\dfrac{-2}{a^2}\times0+\dfrac{4}{a}\\\\0=\dfrac{4}{a}\\\\0\times a = 4\\\\0=4

Cette égalité est fausse.

Par conséquent, il n'existera pas de tangente à H passant par l'origine du repère.
Merci merci merci beaucoup, j'aurais jamais trouvé ça toute seule !! :D
Avec plaisir :)