Bonjour, j'ai un peu de mal avec ce devoir.

soit Un = 1/k² avec k allant de 1 à n (n>1)
1. calculer les quatres premiers termes de Un
J'ai trouvé: U1=1 ; U2= 5/4 ; U3=49/36 et U4=205/144

2. justifier qu Un est strictement croissante
je fais Un+1-Un et j'étudie le signe
donc
Un+1=Un+1/(n+1)²
Mais je comprend pas comment faire pour Un
3.a.
il faut prouver que pour k>(ou égale à 2 ) 1/k²<1/(k-1)-1/k
pour cela j ai mis sur le même dénominateur :
1/(k-1)-1/k=1/(k²-k)
or, k²>k²-k
donc 1/k²<1/(k²-k)
3.b. En sommant les inégalités obtenues pour k variant de 2 à n, établir que Un<2-(1/n)
je ne sais pas comment faire.
3.c.La suite Un peut elle tendre vers + l'infinie ? On admet que la suite (Un) tend vers le réel l= pi ²/6
d. donner une valeur décimale approchée par défaut à 10^-3 près de cette limite l.
e. Ecrire un algorithme qui permet de déterminer à partir de quel entier n, on a Un> 1.64
f. Déterminer cette valeur à l'aide de la calculatrice.

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3.c.La suite Un peut elle tendre vers + l'infinie ?: évidemment non puisque Un<2-1/n<2
même si l=pi²/6
l=pi²/6=1,644934066.... donc avec 1,64 on et en dessous
Si tu essaye pour U>1,65 là ta machine explose!
Elle va chercher jusqu'à la fin des temps!

Réponses

2013-12-29T21:14:33+01:00
1/k²<1/(k-1)-1/k
On va écrire ça en colonne pour K allant de 2 à n et ensuite on sommera membre à membre: la plupart des termes vont s'annuler:
k=2 : 1/4<1-1/2
k=3 : 1/9<1/2-1/3
k=4 : 1/16<1/3-1/4
etc...
k=n-1: 1/(n-1)²<1/(n-2) -1/(n-1)
k=n    : 1/n²<1/(n-1) -1/n
quand on somme membre à membre, il reste
(somme de 2 à n de 1/k²)< 1-1/n
Mais
"somme de 2 à n de 1/k²" ce n'est pas Un, car Un c'est somme de 1 à n de 1/k²
Pour avoir Un à gauche il faut que je rajoute U1 c'est à dire 1. On le rajoute donc de chaque côté et ça donne Un<2-1/n

qu'est-ce que tu ne comprends pas?
pourquoi on utilise pas la limite l=pi²/6
C'est juste pour que tu voies pourquoi on te demande d'aller voir à quelle rang on est quand on dépasse 1,64, pourquoi précisément 1,64, parce qu'on est pas loin avant la limite.
Ah dacc merci beaucoup en tout cas pour votre aide bonne fin de soirée !
De rien, bonne continuation!