Réponses

2013-12-27T15:33:32+01:00
Appelons n le nombre de pièces contenues dans le coffre. 
n<1500 
Les 36 pirates se les partagent et il en reste moins de 10. 
Donc n=36q+r,avec r<10 (dans la division euclidienne de n par 36,q est le quotient et r est le reste,qui est <10) 
Après s'être débarrassés du chef,les pirates ne sont plus que 35 et se repartagent les n pièces.Cette fois,il n'y a pas de reste. 
Donc n est un multiple de 35 (n=35k) 
Un pirate s'enfuit avec sa part.Il reste donc 34 pirates et n-k pièces. 
Deux pirates s'entretuent.Il reste donc 32 pirates et toujours n-k pièces.Cette fois aussi,il n'a pas de reste. 
Donc n-k est un multiple de 32 (n-k=32x) 

n-k=35k-k=34k 
Donc 34k=32x 
Donc 17k=16x 

16 divise 16x=17k,or 16 est premier avec 17,donc 16 divise k (théorème de Gauss) 
Donc k=16a 
n=35k=35*16a=560a 
n<1500,donc 560a<1500 
Donc a<1500/560<3 
Donc a=0,1 ou 2. 

Si a=0,n=0 
Si a=1,n=560 
Or 560=36*15+20 (donc r=20>=10,ce qui est à rejeter car r<10) 
Donc a=2 et n=1120. 

Vérification: 
1120=36*31+4 (r=4<10) 
1120/35=32=k 
(1120-k)/32=(1120-32)/32=1088/32=34 
Ca marche. 

Donc n=1120 pièces d'or.