dans un carrée multiplicatif

5*-4x7*3

5*3x7*4 5*-1x7*2 5*-5

completer le tableau avec des puissance de 5 et de7 pour obtenir un carrée magique multiplicatif

voila il me manque 5 cases et je galère a les trouver

les * sont les puissance

merci de bien vouloir m'aider

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Réponses

2013-12-21T23:20:02+01:00
Bonsoir,

Le carré sera magique si le produit des éléments de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est identique.

Pour connaître ce produit, il suffit de multiplier les 3 éléments de la 2ème ligne.

(5^3\times7^4)\times(5^{-1}\times7^2)\times(5^{-5})=5^{3-1-5}\times7^{4+2}\\\\(5^3\times7^4)\times(5^{-1}\times7^2)\times(5^{-5})=5^{-3}\times7^{6}

Ainsi , tous les produits des éléments des lignes, des colonnes et des diagonales doivent être égaux à  5^{-3}\times7^6

Nous pouvons alors déterminer le dernier élément de la 1ère colonne.

(5^{-4}\times7^3)\times (5^3\times7^4)\times(5^?\times7^?)=5^{-3}\times7^6\\\\5^{-4+3+?}\times7^{3+4+?}=5^{-3}\times7^6\\\\5^{-1+?}\times7^{7+?}=5^{-3}\times7^6

Nous trouvons facilement que le premier "?" dans l'exposant de 5 est égal à -2 et que le second "?" dans l'exposant de 7 est -1.

Donc le dernier élément de la 1ère colonne est  5^{-2}\times7^{-1}

En faisant le même raisonnement, nous trouverions les résultats manquants des deux diagonales, puis les termes manquants de la1ère et de la 3ème ligne.

Le tableau magique est donc :

 5^{-4}\times7^3\ \ \ \ \ 5\times7^{-2}\ \ \ \ \ \ \ 7^5\\\\5^3\times7^4\ \ \ \ \ \ \ \ 5^{-1}\times7^2\ \ \ \ \ \ 5^{-5}\\\\5^{-2}\times7^{-1}\ \ \ \ 5^{-3}\times7^6\ \ \ \ 5^2\times7