Bonjour, je suis en troisième et je bloque sur cet exercice:

Montrer que l'on peut calculer l'expression suivante, sans
calculatrice et sans poser d'opération. Veiller à bien détailler les
étapes de votre raisonnement.

H = 2 x 2013 x (1 - 1/2²) x (1 - 1/3²) x (1 - 1/4²) x (1 - 1/5²) x
....... x (1
- 1/2012²) x (1 - 1/2013²).

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Réponses

2013-12-21T17:43:07+01:00
Bonsoir,

Dans ce calcul, nous utiliserons la formule : a² - b² = (a - b)(a + b)

H=2\times2013\times[1-(\dfrac{1}{2})^2]\times[1-(\dfrac{1}{3})^2]\times[1-(\dfrac{1}{4})^2]\times[1-(\dfrac{1}{5})^2]\times\\\ ...\times[1-(\dfrac{1}{2012})^2]\times[1-(\dfrac{1}{2013})^2]


H=2\times2013\times(1-\dfrac{1}{2})(1+\dfrac{1}{2})\times(1-\dfrac{1}{3})(1+\dfrac{1}{3})\times(1-\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{4})
\times(1-\dfrac{1}{5})(1+\dfrac{1}{5})\times ...\times(1-\dfrac{1}{2012})(1+\dfrac{1}{2012})\times(1-\dfrac{1}{2013})(1+\dfrac{1}{2013})


H=2\times2013\times(\dfrac{1}{2})(\dfrac{3}{2})\times(\dfrac{2}{3})(\dfrac{4}{3})\times(\dfrac{3}{4})(\dfrac{5}{4})\times(\dfrac{4}{5})(\dfrac{6}{5})\times...\\\\\times(\dfrac{2011}{2012})(\dfrac{2013}{2012})\times(\dfrac{2012}{2013})(\dfrac{2014}{2013})

H=2\times2013\times\dfrac{1}{2}\times(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2}{3})\times(\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{4})\times(\dfrac{5}{4}\times\dfrac{4}{5})\times(\dfrac{6}{5}\times...\\\\\times\dfrac{2011}{2012})\times(\dfrac{2013}{2012}\times\dfrac{2012}{2013})\times(\dfrac{2014}{2013})

H=2\times2013\times\dfrac{1}{2}\times(1)\times(1)\times(1)\times(1)\times...\\\\\times(1)\times(1)\times(\dfrac{2014}{2013})

H=2\times2013\times\dfrac{1}{2}\times(\dfrac{2014}{2013})\\\\H = \dfrac{2\times2013\times2014}{2\times2013}\\\\H=2014