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2013-12-20T09:04:37+01:00
Bonjour,

1) AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-1+2)^2+(3-0)^2}
=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}

AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(4+2)^2+(-2-0)^2}
=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}

BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(4+1)^2+(-2-3)^2}
=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}

BC² = 50
AB³ + AC² = 10 + 40

BC² = AB² + AC²  ===> par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et l'hypoténuse est le côté [BC].

2) a) Si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, alors son hypoténuse est un diamètre.
Le triangle ABC étant rectangle, il est inscrit dans un cercle de diamètre [BC].
Le centre K de ce cercle sera le milieu de [BC].

K(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\K(\dfrac{-1+4}{2};\dfrac{3-2}{2})\\\\K(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2})

Le rayon est égal à la moitié du diamètre, soit (1/2)BC.
soit   \dfrac{\sqrt{50}}{2}=\dfrac{\sqrt{25\times2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

b)  DK = \sqrt{(\dfrac{3}{2}-4)^2+(\dfrac{1}{2}-3)^2}=\sqrt{(\dfrac{-5}{2})^2+(\dfrac{-5}{2})^2}\\\\=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}\\\\=\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

La longueur DK est égale au rayon ===> K est sur le cercle.

KF=\sqrt{(3,5-\dfrac{3}{2})^2+(3,5-\dfrac{1}{2})^2}=\sqrt{(3,5-1,5)^2+(3,5-0,5)^2}\\\\=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

La longueur KF est supérieure au rayon ===> F est extérieur au cercle.

3) Une droite est tangente à un cercle si elle est perpendiculaire au rayon passant par le point de contact.
Démontrons que (DF) est perpendiculaire à (KD)

Le produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires est égal à -1.

Coefficient directeur de (DF) :
\dfrac{y_F-y_D}{x_F-x_D}=\dfrac{3,5-3}{3,5-4}=\dfrac{0,5}{-0,5}= -1

Coefficient directeur de (KD) : 
\dfrac{y_D-y_K}{x_D-x_K}=\dfrac{3-\dfrac{1}{2}}{4-\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2,5}{2,5}= 1

Puisque  (-1)\times1=-1 ,les droites (DF) et (KD) sont perpendiculaires.

Donc (DF) est tangente au cercle.