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2013-12-14T00:50:02+01:00
Bonsoir,

1) Le centre du cercle est le point J(0;1).
Le rayon de ce cercle est égal à 1.

2) Montrons que MJ=1

MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\\\MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1

3) a) Une équation de (BM) est de la forme y = ax + b.

Calcul du coefficient directeur : 

a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}

L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2 puisque la droite passe par le point B(0;2)
D'où  (BM) : y =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2 

Les coordonnées de D s'obtiennent en remplaçant y par 0 dans l'équation de (BM).

0 =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}

D'où  D(2\sqrt{3} ; 0)

b) Par conséquent, nous avons  K(\sqrt{3} ; 0)

4) Vérifions si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans le triangle JMK, c'est-à-dire si nous avons : JK² = JM² + MK²

JM=1  (rayon du cercle centré en J)
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MK=\sqrt{(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{12}{4}}\\\\MK=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\\\\MK=\sqrt{3}
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JK=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2}\\\\JK=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\\\JK=\sqrt{3+1}\\\\JK=\sqrt{4}=2
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JM^2+MK^2=1^2+(\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\\\\JK^2 = 2^2 = 4

Donc la relation de Pythagore est vérifiée.
Par la réciproque de son théorème, nous pouvons dire que le triangle JMK est rectangle en K.