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2013-12-10T19:24:36+01:00
Bonsoir,
L'arbre est en pièce jointe.

1)a) Sachant que le père est de génotype AA, la probabilité pour la génération 1 d'être du génotype AA est égale à r_0+\frac{1}{2}s_0.
b) Sachant que le père est de génotype Aa, la probabilité pour la génération 1 d'être du génotype AA est égale à \frac{1}{2}r_0+\frac{1}{4}s_0.
c) Sachant que le père est de génotype aa, la probabilité pour la génération 1 d'être du génotype AA est égale à 0.
d) r_1=r_0(r_0+\frac{1}{2}s_0)+s_0(\frac{1}{2}r_0+\frac{1}{4}s_0)
r_1=r_0^2+\frac{1}{2}r_0s_0+\frac{1}{2}r_0s_0+\frac{1}{4}s_0^2\\r_1=r_0^2+r_0s_0+\frac{1}{4}s_0^2\\r_1=(r_0+\frac{1}{2}s_0)^2

2) Par symétrie (voir arbre) , t_1=(t_0+\frac{1}{2}s_0)^2

Sachant que r1 + s1 + t1 = 1, nous en déduisons que s1 = 1 - r1 - t1.
s_1=1-(r_0+\frac{1}{2}s_0)^2-(t_0+\frac{1}{2}s_0)^2

3) r_0+\frac{1}{2}s_0=r_0-t_0+t_0+\frac{1}{2}s_0=r_0-t_0+\dfrac{2t_0+s_0}{2}\\=r_0-t_0+\dfrac{t_0+(t_0+s_0)}{2}\\=r_0-t_0+\dfrac{t_0+1-r_0}{2}=d+\dfrac{1-d}{2}=\dfrac{2d+1-d}{2}=\dfrac{1+d}{2}\\\\\Longrightarrow \boxed{r_1=(\dfrac{1+d}{2})^2}

t_0+\frac{1}{2}s_0=t_0-r_0+r_0+\frac{1}{2}s_0=t_0-r_0+\dfrac{2r_0+s_0}{2}\\=t_0-r_0+\dfrac{r_0+(r_0+s_0)}{2}\\=t_0-r_0+\dfrac{r_0+1-t_0}{2}=-d+\dfrac{1+d}{2}=\dfrac{-2d+1+d}{2}=\dfrac{1-d}{2}\\\\\Longrightarrow \boxed{t_1=(\dfrac{1-d}{2})^2}

s_1=1-r_1-t_1 =1-(\dfrac{1+d}{2})^2-(\dfrac{1-d}{2})^2\\=1-\dfrac{1+2d+d^2}{4}-\dfrac{1-2d+d^2}{4}\\=\dfrac{4-1-2d-d^2-1+2d-d^2}{4}=\dfrac{2-2d^2}{4}=\dfrac{2(1-d^2)}{4}\\\boxed{s_1=\dfrac{1-d^2}{2}}

4) r_1-t_1=(\dfrac{1+d}{2})^2-(\dfrac{1-d}{2})^2=\\=\dfrac{1+2d+d^2}{4}-\dfrac{1-2d+d^2}{4}=\dfrac{4d}{4}=d

Donc  r_1-t_1=r_0-t_0=d
 
Par conséquent, les suites  (r_n), \ (s_n)\ \ et\ \ (t_n) sont des suites constantes (à partir du rang 1).