Bonsoir,

Voici un exo de maths où j'ai besoin d'aide, merci à vous !

Une espèce de poissons en voie de disparition a été mise en protection il y a 20 ans et interdite de pêche. Cette année, sur la demande des pêcheurs de Brest, le ministère lance une étude pour savoir si l’on peut rouvrir la pêche pour ces poissons. Il y a 20 ans la population était estimée à 1 000 individus et il y a 10 ans, elle était estimée à 10 000.
On prend pour hypothèse que l’équation décrivant la croissance de la population des poissons est de la forme y'(t) = Ky(t), c’est-à-dire que la croissance de la population pour une année est proportionnelle à la population de cette même année.

1. Montrez que la solution de cette équation est de la forme : y(t) = AeKt avec A ∈ R.

2. Résolvez l’équation différentielle et trouvez K et le coefficient A de l’équation différen- tielle en observant que y(0) = 1000 et y(10) = 10000

3. Combien y a-t-il de poissons aujourd’hui?

4. Le ministère pourra lever la protection dès lors que le nombre d’animaux sera de 200 000. Dans combien de temps pourra-t-elle le faire?

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Réponses

2013-12-09T03:27:03+01:00
Bonsoir

1. Les solutions de l'équation différentielle y'(t) = Ky(t) sont de la forme  y=A\times e^{g(t)}  où A ∈R et g(t) est une primitive de K.
Or une primitive de K est Kt.
Donc les solutions de l'équation différentielle y'(t) = Ky(t) sont de la forme  y=A\times e^{Kt} où A ∈ R.

2. Résolvons l'équation différentielle avec les contraintes données.

Tous les 10 ans, la population de poissons est multipliée par 10.

y(t)(t+10)=10y(t)\\\\Ae^{K(t+10)}=10Ae^{Kt}\\\\Ae^{Kt}e^{10K}=10Ae^{Kt}\\\\e^{10K}=10\\\\10K=ln(10)\\\\K=\dfrac{ln(10)}{10}\approx 0,23

Donc  y(t)=Ae^{0,23t}


La population initiale est de 1000 poissons.

y(0)=Ae^{0,23\times0}=1000\\A\times e^0=1000\\A\times1=1000\\A=1000

D'où   y(t)=1000e^{0,23t}


3; Aujourd'hui, t = 20.

y(20)=1000e^{0,23\times20}\\y(20)=1000e^{4,6}\\\\y(20)\approx99484,3

Aujourd'hui, il y a 99 484 poissons.


4) Déterminons t pour que l'on ait : y(t) = 200 000.
 200000=1000e^{0,23t}\\\\200=e^{0,23t}\\\\0,23t=ln(200)\\\\t=\dfrac{ln(200)}{0,23}\approx23

Comme le temps initial se situe il y a 20 ans, le ministère pourra lever la protection dans 3 ans.