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2013-12-07T01:28:52+01:00
Le principe de la démonstration est basé sur les données d'une part et sur les conclusions tirées de nos calculs d'autre part.
J'ai tenté d'utiliser le système d'équation proposé, j'espère ne pas avoir été trop maladroit.... Sinon je pense que tu pourrais retrouver car j'ai beaucoup détaillé.

1) Montrer que la mesure de [AC] est égale à 3 \sqrt{3}
Le triangle ACO est rectangle en C ainsi on peut utiliser le théorème de Pythagore OC^{2} +  AC^{2} = OA^{2} \\AC^{2} = OA^{2} - OC^{2} \\AC^{2} =  6^{2}  -  3^{2} \\AC^{2} = 36 - 9  \\AC^{2} = 27 \\On a alors AC =  \sqrt{27} \\AC =  \sqrt{9x3} \\AC =  \sqrt{9} fois  \sqrt{3} \\AC =  3\sqrt{3}  
     \\

2) Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles.
Les droites (NS) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à la même troisième droite (EC). Elles sont donc parallèles entre elles.

Calculer les valeurs exactes de OS et ES
Les droites (OS) et (ES) sont sécantes en O.
D'après le théorème de Thalès on peut poser
 \frac{OC}{EO} =  \frac{AC}{SE} =  \frac{OA}{OS}

 \frac{3}{5} =  \frac{3 \sqrt{3} }{SE}  =  \frac{6}{OS}

Calculer OS
 \frac{3}{5} =  \frac{6}{OS}
donc OS =  \frac{5 fois 6}{3} = 10 cm

Calculer ES
 \frac{3}{5} =  \frac{3 \sqrt{3}}{SE}  

donc SE =  \frac{5 fois 3 \sqrt{3}}{3} = 5  \sqrt{3}
ES en valeur approchée est égale à 8,7 cm

3) Le triangle NOE est rectangle en E donc 
cos de l'angle NOE = (coté adjacent à NOE) / hypoténuse
cos de l'angle NOE = OE/ON
cos 30° = 5/ON
ON = 5/cos 30°
Cos 30° =  \frac{ \sqrt{3} x}{2} d'où ON = 5 multiplié par  \frac{2}{ \sqrt{3}} = \frac{10}{ \sqrt{3}} =  \frac{10 \sqrt{3}}{3}
ON en valeur arrondie au mm est donc égale à 5,8 cm

4) Calculer l'angle COA
Le triangle ACO est rectangle en C donc
cos de l'angle AOC = côté adjacent à l'angle AOC / hypoténuse
Cos de l'angle AOC =  \frac{OC}{OA}
Cos de l'angle AOC =  \frac{3}{6}
Cos de l'angle AOC =  \frac{1}{2}
d'où l'angle AOC = 60°

Démontrer que le triangle SON est rectangle
Les angles AOC et NOE sont des angles opposés par le sommet ainsi l'on peut affirmer qu'il sont de même mesure.
Ainsi l'angle AOC est égal à 60° (démontré dans question précédente) donc on en déduit que l'angle NOE = 60°.
On a l'angle NOS = l'angle NOE + l'angle EOS
L'angle NOS = 60° + 30°
L'angle NOS = 90°
On peut donc en conclure que SON est un triangle rectangle en O.


2013-12-07T01:36:10+01:00
Exercice 108 :
a)
Le triangle AOC étant rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore on a :
AO² = OC²+ AC²
AC² = AO² - OC²
AC² = 36 - 9
AC² = 27
AC = Racine carrée de 27
Donc AC = 3 Racine carrée de 3 cm.

b)
1)
Les droites (NS) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EC), elles sont donc parallèles entre elles

2)

Les droites (EC) et (AS) sont sécantes en O, puisque (NS) // (AC) d'après le théorème de Thalès.

On a  donc :
OA = OC = AC
OS    OE   ES
D'où :
6      =     3 = 3 Racine carrée de 3
OS           5              ES

On calcule OS :
6      = 3
OS      5

OS = 6 x 5
           3
OS = 10 cm

On calcule ES :

3 = 3 Racine carrée de 3
5             ES

ES = 5 x 3 Racine carrée de 3
                     3

ES = 5 Racine carrée de 3

c)
Calculer ON sachant que NOE=30°. Arrondir au mm.

Dans le triangle NOE on a :

Cos NOE = EO
                  ON

ON =   EO 
        Cos NOE

ON =   5   
        Cos 30

ON = environ 5,8 cm

d)
1) Calculer l'angle COA

Dans le triangle COA on a :

Cos COA = OC
                  OA

Cos COA = 3
                  6

Cos COA = 1
                  2

Donc COA = 60°

2) Démontrer que le triangle SON est rectangle :
Les angles AOC et EOS sont opposés par le sommet, ils ont donc la même mesure 60 °
Les angles EOS et NOE sont adjacents donc :
NOS = NOE +  EOS
NOS = 30 + 60
Donc SON = 90°