Jérome a réparti ses quinze oiseaux dans cinq cages à raison de trois oiseaux chacune.Chaque matin, à compter du deuxième jour, il remplit une cage libre en retirant un oiseau de chacune des cages occupées. Si chaque jour, une nouvelle cage est remplie, il arrive parfois qu'une cage se vide complètement. Au bout d'un an 365 jours , quel sera le nombres de cages occupées et quelle sera la répartition des oiseaux dans ces cages ?on supposera avec optimisme qu'aucun des oiseau ne va mourir et qu'au cours de l'année , hélas ils ne vont pas de reproduire

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Réponses

2013-12-05T14:48:21+01:00
- 1er jour : 5 cages qui contiennent toutes 3 oiseaux.

- 2ème jour : chaque cage se voit retirer un oiseau, il y a donc une nouvelle cage de 5 oiseaux et les 5 premières cages ne contiennent plus que 2 oiseaux chacune, il y a donc 6 cages au total.


- 3ème jour : les 6 cages du 2ème jour donnent un oiseau à la nouvelle cage, il n’y a donc plus que 1 oiseau dans les 5 premières cages, 4 oiseaux dans la cage apparus le 2ème jour et 6 dans la nouvelle cage.


- 4ème jour : les 5 premières cages du 1er jour disparaissent  car il ne restait plus qu’un seul oiseau par cage, qui se retrouve dans une nouvelle cage et qui compte donc 7 oiseaux du fait que les cages du 2ème et 3ème jour perdent 1 oiseau chacune pour en donner à la nouvelle cage. Donc le 4ème jour on ne compte plus que 3 cages de 3, 5 et 7 oiseaux.


- 5ème jour : le même phénomène se produit, chaque cage est vidée d’un oiseau pour en faire apparaitre une nouvelle, nous arrivons donc au compte de 4 cages avec 2,4,6 et 3 oiseaux dans chacune des cages.


- 6ème jour : la même chose se produit : nous avons alors 5 cages dans lesquelles 1, 2,3,4 et 5 oiseaux sont répartis.


- 7ème jour : on constate qu’il n’y a plus qu’une seule cage qui contient un seul oiseau, on en vient à la conclusion qu’il n’y aura plus (au cours de l’année) deux cages vides le même jour.


- 8ème jour :  il y a toujours 5 cages avec dans chacune d’elles 1, 2,3, 4 et 5 oiseaux.


- 9ème jour : il y a encore 5 cages avec dans chacune d’elles 1, 2, 3, 4 et 5 oiseaux.

- 10ème jour : nous remarquons que les oiseaux sont répartis dans un sens croissant, la première cage contient 1 oiseau, la deuxième 2, etc…, jusqu’à la cinquième cage qui en contient cinq.
Après cette observation nous remarquons que tous les jours à partir du 6ème jour (jusqu’au 365ème jour) nous aurons 5 cages dans lesquelles seront repartis 15 oiseaux de telle sorte que 1, 2 ,3 ,4 et 5 oiseaux soient dans chacune des cages. Le 10ème jour le nombre d’oiseaux dans les cages devient ordonné et ne varie plus. L’ordre reste 1, 2, 3, 4, 5.


Conclusion : Au bout d’un an (365 jours), il y aura 5 cages occupées par 15 oiseaux dans lesquelles 1, 2 ,3 ,4 et 5 oiseaux vivront.