Bonjour,

j'ai un DM a rendre pour demain et beaucoup de mal à le faire. Je sus largué; Voilà l'énoncé








En France, dans le domaine de la chaussure, la pointure correspond à 32

de la longueur du pied, exprimée en

cm.

Compléter le tableau : fait



Longueur du pied 30 28

pointure 45 42





Lorsque vos deux pieds sont posés sur le sol, la surface comprise entre les deux pieds est appelée ‘‘polygone de sustentation’’.

Plus l’aire de ce polygone est grande, plus la stabilité est bonne.

Berthe a une pointure de 42, ce qui correspond donc à une longueur de pied de 28 cm

Les talons de Berthe sont distants de 10 cm. Elle écarte symétriquement les pointes de ses pieds d’un angle alpha

Le « polygone de sustentation » peut-être assimilé à un trapèze isocèle ABCD.





I) Berthe a disposé ses pieds de façon que l’angle alpha soit égal à 30°.

1) calculer la hauteur h du trapèze correspondant, arrondie à un mm près.

2) calculer la distance DC exprimée en cm ;

3) en déduire alors la valeur approchée de l’aire du « polygone de sustentation » correspondant, exprimée

en cm2.







II) Berthe cherche à trouver la position des pieds lui offrant la meilleure stabilité, c'est-à-dire la valeur de

l’angle a pour laquelle l’aire du trapèze est maximum.

1) calculer en fonction de l’angle alpha , la hauteur h du trapèze et la distance DC séparant les deux pieds.

2) S désigne l’aire en cm2 de ce polygone de sustentation.

Cette aire est fonction de alpha ; on la note donc S(alpha)

Démontrer que S(alpha) = 28* cos alpha * (10 + 28* sin alpha)





3) A vos calculatrices !! (je le ferais)

a) Reproduire et compléter le tableau en faisant varier a de 0° à 90° , de 10° en 10°

a en degrés 0 10 20 … ….

S(alpha) arrondi à 1 cm2 près

b) Sur du papier millimétré, placer les points dont les coordonnées sont obtenues à partir du tableau.

En abscisse, les angles en degrés (échelle : 1cm pour 10 degrés)

En ordonnée les valeurs de S(a) correspondantes.(échelle : 1mm pour 3 cm2 )

c) en vous aidant de votre graphique et de votre calculatrice, trouver
l’angle a à 1° près, pour que Berthe ait la meilleure stabilité
possible.



Merci d'avance














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Réponses

2013-12-05T17:33:27+01:00
Bonjour  
Longueur de pied = 28 cm  
Angle de chaque pied par rapport à la verticale =  30° 
Ecartement des talons = petite base du trapèze = 10 cm 

Ecartement entre la verticale de chaque pied et les orteils = côté opposé de l'angle 30° 
donc on obtient 
écart (orteils/verticale) = hypoténuse * sin 30° = 28 * 0.5 = 14 cm 
la grande base du trapèze sera 
écart talon + 2( écart des orteils par rapport à la verticale ) 

                    B                                                                      C
               orteils G          V                                  V            orteils D

                 28 cm  
                                   30°
                                talon                               talon 
                                  A              10 cm             D

petite base trapèze = AB = 10 cm 
grande Base = 10 + 2(28 * sin30° ) = 10 + 2*14 = 38 cm 
hauteur du trapèze = longueur pied * cos 30° = 28 * 0.866 = 24.2 cm 

Aire ABCD = ( hauteur (petite base + grande base) ) / 2 
Aire ABCD = (24.2 * 48) / 2 = 580.8 cm² 

Hauteur = 28 * cos 30° 
S(alpha) = 28 cos alpha * ( écart talon + écart des orteils par rapport à la verticale)
S(alpha) = 28 * cos alpha * (10 + 28* sin alpha)

Je sais que mes explications ne sont pas très claires ( surtout mon ébauche de dessin ) mais je souhaite qu'avec un peu d'imagination ...

2013-12-05T17:39:28+01:00
Angle alpha = Angle A = angle B = 30° (angle A et Angle B sur schéma joint)

Partie I
1) Calcul de h
h = BE
cos(30°) = BC/BE
cos(30°) = 28/h
d'où
h = 28 * cos(30°) (* signifie multiplié par)
h = 24.2 cm

2) DC = CE+EF+FD
EF = AB et CE=FD
Calcul de CE
sin(30°) = CE/BC
Sin(30°) = CE/28
d'où
CE = 28*sin(30°)
CE = 14 cm
Donc
DC = 14+10+14
DC = 38 cm

3) Les bases d'un trapéze sont les cotés //. ici se sont AB et DC.
Aire du trapéze ABCD = (petite base + grande base)*hauteur /2
A = (AB+DC)*h/2
A = (10+38)*24.2/2
A = 48*12.1
A = 581 cm² (environ)

Partie II
1) Calcul de h en fonction de alpha (noté a)
h = BE
cos(a) = BC/BE
cos(a) = 28/h
d'où
h = 28 * cos(a)

2) Calcul de CE en fontion de a
sin(a) = CE/BC
Sin(a) = CE/28
d'où
CE = 28*sin(a)

Calcul de DC en fonction de a
DC = CE+EF+FD
or EF = AB et CE=FD
d'où
DC = 28*sin(a)+10+28*sin(a)
DC = 10+2*28*sin(a)

Calcul de l'aire en fonction de a

A = (AB+DC)*h/2
A = 10+10+2*28*sin(a) * 28*cos(a) /2
A = 28*cos(a)*2(10+28*sin(a))/2
A = 28*cos(a)*(10+28*sin(a))