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Meilleure réponse !
2013-12-05T00:20:31+01:00
(AE) et (CF) sont sécantes en B. A, E et B sont alignés dans le même ordre que C, F et B.
Tu calcules les quotients BE/BA et BF/BC
BE/BA = 9/10 = 0.9
BF/BC = 4.5/5  = 0.9
donc BE/BA = BF/BC
Donc, d'après la réciproque de Thalès, EF et AC sont //.
Tu fais la même chose dans le triangle ADC et tu as HG et AC //..
tu sais que EF et HG sont // à la même droite AC. On conclut donc que EF et HG sont //.
Tu utilises la même méthode dans ABD pour montrer que IJ et BI sont //
Tu utilises la réciproque pour montrer que KL et BD sont //
Tu contates que IJ et KL sont // à la même droite BD Don IJ et KL sont //.

Tu sais que EF//HG
Comme M et N appartiennent à EF et que P et O appartiennent à HG, on a MN//PO
Tu sais que IJ//KL
Comme M et P appartiennent à IJ et que N et O appartiennent à KL, on a MP//NO
Donc, le quadrilatère MNOP a : MN//PO et MP//NO. Ses côtés opposés sont // c'est donc un parallélogramme.

EI et FL sont sécantes en B.
tu fais comme au début
le quotient BI/BE = 1/9 et BL/BF = 0.5/4.5 = 5/45 = 1/9
donc EI et EF sont //.
M et N appartiennent à EF, donc IL//MN
IJ//KL, M appartient à IJ, N appartient à KL donc MI//NL
IMNL est donc un parallélogramme (même démonstration que plus haut).
Donc MN = IL

Tu fais pareil pour démontrer que HE et IJ sont // en utilisant la réciproque de Thalès dans le triangle AIJ.
Comme P appartient à  IJ et M appartient à IJ, on déduit  HE//PM.
EF//HG, M appartient à EF et P à HG donc EM//HP.
C'est donc un parallélogramme.
EH est l'hypoténuse de AEH et IL est l'hypoténuse de IBL donc EH = IL.
On résume :
PM = EH = IL donc MN = PM
MNOP est un parallélogramme avec 2côtés consécutifs égaux, donc c'est  un losange.