Un rectangle à un périmètre égal à 8m et une aire égale à 1m(le petit deux) .on se propose de déterminer les dimensions x et de y de ce rectangle
1/ expliqué pourquoi la situation se traduit par :
(xy =1
(x+y =4. Avec x>0 et y>0

2/montrer que les valeurs possibles de x vérifient :
1/x=-x+4 avec x>0


3/a/ résoudre graphiquement cette équation
b/ en déduire une résolution approché du problème posé.
4/a/Développer (x-2)le petit deux-3
b/en déduire les valeurs exactes de x et y

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-11-29T22:22:18+01:00
Bonsoir

1) Aire du rectangle = Longueur * largeur = x * y = 1    ==>  xy=1
Périmètre du rectangle = 2(Longueur + largeur) = 2(x + y) = 8    ===> x + y = 4

2) \left\{\begin{matrix}xy=1\\x+y=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{1}{x}\\y=-x+4\end{matrix}\right.

Donc   \dfrac{1}{x}=-x+4

3a) Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection entre les graphiques représentant les fonctions f et g définies par f(x)=1/x et g(x) = -x+4.
En regardant le graphique de la pièce jointe, nous avons : x1 ≈ 0,27 et x2 ≈ 3,73

b) Si x 
≈ 0,27,  alors y ≈ -0,27 + 4
                                y 
≈ 3,73

Si x 
≈ 3,73, alors y ≈ -3,73 + 4
                           y 
≈ 0,27.

Les solutions du système sont approximativement (0,27 ; 3,73) et (3,73 ; 0,27).

4) a) (x -2)² - 3 = x² - 4x + 4 - 3
                    = x² - 4x + 1.

b) 
\dfrac{1}{x}=-x+4

1=x(-x+4)\\\\1=-x^2+4x\\\\x^2+4x-1=0\\\\(x-2)^2-3=0\\\\\[[(x-2)+\sqrt{3}][(x-2)-\sqrt{3}]=0\\\\(x-2+\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})=0

x-2+\sqrt{3}=0\ \ ou\ \ x-2-\sqrt{3}=0\\\\x=2-\sqrt{3}\ \ ou\ \ x=2+\sqrt{3}

Si\ \ x=2-\sqrt{3},\ \ alors\ \ y=-(2-\sqrt{3})+4=-2+\sqrt{3}+4=2+\sqrt{3}\\\\Si\ \ x=2+\sqrt{3},\ \ alors\ \ y=-(2+\sqrt{3})+4=-2-\sqrt{3}+4=2-\sqrt{3}

Les valeurs exactes de x et de y sont donc 

x=2-\sqrt{3}\ \ et\ \ y=2+\sqrt{3}

ou

x=2+\sqrt{3}\ \ et\ \ y=2-\sqrt{3}