Devoir sur les puissances :

Bonjour, j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre, voici l'énoncé :

Pour le remercier del’invention du jeu d’échecs, le roi des Perses proposa au génial inventeur de choisirune récompense. Celui-ci répondit qu’il ne voulait qu’un grain de blé pour la première case de l’échiquier, deux grains de blé pour la seconde et ainsi de suite en doublant jusqu’à la 64ème case. Le roi des Perses s’empressa d’accepter en se disant que le jeune inventeur était bien naïf de réclamer une si« petite » récompense.

a)Ecrire sous la forme d’une puissance puis calculer le nombre de grains sur la 1ère case, sur la 2ème case,sur la 3ème case, sur la 4ème case.

b)Exprimer à l’aide d’une puissance le nombre de grains sur la 64ème case.

c)Sachant que 15 millions de grains pèsent 900 kg, déterminer un ordre de grandeur du poids des grainsde blé posés sur la 64ème case. Expliquer et écrire le calcul effectué.

d)De nos jours, la production annuelle mondiale de blé est d’environ 240 10 6 tonnes. Que penser alors de la récompense de l’inventeur? (on la comparera à la production annuelle mondiale de blé).

J'ai réussi à répondre à la a et à la b mais je n'arrive pas à résoudre la c et la d...

Merci de votre aide si vous m'en apporter.

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Réponses

2013-11-25T21:02:41+01:00
Cette histoire est en effet bien connue. En fait il y a une astuce...
Comme il y a 64 cases sur un jeu d'échec on prend le plus petit multiplicateur soit 2 ce qui donne 2 puissance 64 auquel il convient de déduire 1 grain vu que la première case il n'y a qu'un seul grain. OK ?
Puissance est mentionné ici par le signe ^
a) Sur la 1ère case = 1 grain = > 1 grain sur l'échiquier
Sur la deuxième case = 2 grains => 3 grains sur l'échiquier
Sur la troisième case = 4 grains => 7 grains sur l'échiquier
Sur la quatrième case = 8 grains => 15 grains sur l'échiquier
Sur la cinquième case = 16 grains => 31 grains sur l'échiquier
Sur la sixième case = 32 grains => 63 grains sur l'échiquier
Sur la septième case = 64 grains => 127 grains sur l'échiquier
........
b) Sur la 64ème case = 9 223 372 036 854 775 808 => 18 446 744 073 709 551 615 grains sur l'échiquier.
L'expression numérique se présent ainsi : (le -1 étant le grain enlevé sur la case n°1)
 2^64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615  grains de blé.
.................
c) (900 / 15 millions) = 0,00006
d'où (6/100 000) x 18 446 744 073 709 551 615 = 110 680 464 442 257,30966 kg
Je transforme en Tonnes 110 680 464 442 tonnes 257 kg 309 g 66 mg
Soient plus de 110 milliards de tonnes de blé ! 
.................
d) la production mondiale étant de 240 x 10^6 on obtient 240 000 000 de tonnes
Ce qui représente 461 168 fois moins que la récompense promise (en valeur approchée)

La récompense ne pourra donc pas être remise à l'inventeur car il faudrait plus de
460 000 ans pour cela et en supposant qu'on lui donne l'intégralité de la production annuelle de blé produit dans le monde...
Ou alors sa descendance devrait prendre le relais pendant des générations et des générations pour recevoir la récompense !!!!

Merci beaucoup :))
Juste, sur la case 64 c'est bien 2^63 grains, non?