Pour le stand "cadeaux" de la fête de charité, vous devez entourer un paquet avec un ficelle ( Exercice 2 du lien : tfontanet.free.fr/seconde/2-ds-vecteurs-reperes.pdf )
Ce paquet est un parallélépipède rectangle dont la face ABCD est un carré de coté x et on appelle y la longueur AE. Vous disposez d'une seule ficelle de 110 cm de long mais, une fois enlevée la longueur nécessaire au noeud, il ne vous reste plus que 100 cm pour faire le tour du paquet. On considère la fonction f qui à x fait correspondre le volume du paquet. Le but de l'exercice est de déterminer pour quelle valeur de x ce volume est maximum.

1) En justifiant, montrer que l'on doit avoir: 8x+4y = 100
2) Déterminer l'ensemble de définition Df de f, puis déterminer f (x) en fonction de x.
3) Tracer la représentation graphique Cf de f et en déduire par lecture graphique la valeur de x pour laquelle le paquet est le plus volumineux possible.


Merci à vous!

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Je ne peux guère expliquer dans les commentaires (trop courts)
1) 4x pour les deux carrés + 4x pour les deux rect. + 4y pour les deux rect. = 100
2) Df = [0 ; 12,5] et f(x) = x^2(25-2x), soit f(x) = -2x^3+25x^2
3) Volume maximal pour x ≈ 8,3 cm
Graphique sur ce lien : http://img833.imageshack.us/img833/2328/tqs6.jpg

Réponses

2013-11-25T10:57:21+01:00
Bonjour,

1) Pour la face avant du paquet, nous utilisons une longueur de ficelle égale à 2x.
Pour la face arrière du paquet, nous utilisons une longueur de ficelle égale à 2x.
Pour chaque face latérale, nous utilisons une longueur de ficelle égale x+y, soit 4(x+y) pour les 4 rectangles latéraux.

Au total, nous utilisons une longueur égale à 2x+2x+4(x+y) = 2x+2x+4x+4y.= 8x+4y.
Puisqu'il y a 100 cm de ficelle, nous avons  : 8x + 4y = 100


2) 8x + 4y = 100 ===> 2x + y = 25 
                          ===>  y = 25-2x.

Or  y ≥ 0 ===> 25-2x ≥ 0
              ===> -2x 
≥ -25 
              ===> x 
≤ (-25)/(-2)
              ===> x 
≤ 12,5.
Comme x ≥ 0, nous déduisons que : 0 ≤ x ≤ 12,5
Df = [0 ; 12,5]

Le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par : Aire de la base * hauteur.
Prenons le carré comme base. Son aire est égale à x*x = x².
La hauteur est alors égale à y.
D'où, f(x) = x²y
Or y = 25-2x. (voir ci-dessus)

Donc f(x)=x^2(25-2x)  ou encore f(x)=25x^2 - 2x^3 


3) Le graphique montre que f est maximal pour x ≈ 8,3 (cm)

(Graphique en pièce jointe)
 
 

Je te remercie, je comprend mieux maintenant!
Alors, c'est parfait :)