Bonjour a tous, jai un dm a faire et voici un exercice qui se situe dans approfondissement et jai cherché pendant deux jours maus je tourne en rond... merci de vos réponses!
Calculer des valeurs exactes
1. Soit z=x+iy, avec x et y reels avec un module de 1. X est la partie reelle du nombre complexes z^2. Montrer que x^2=(1+X)/2 et y^2=(1-X)/2.

2. Application : determiner les valeurs exactes de cos pi/8 et sin pi/8

Merci davance et bonne soiree a tous

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Je précise que x^2 signifie x au carré

Réponses

Meilleure réponse !
2013-11-24T00:27:59+01:00
Bonsoir,

Passons à la forme trigonométrique.

z=x+iy=cos(\theta)+isin(\theta)  avec  x=cos(\theta)\ \ et\ \ y=sin(\theta)

z^2=(cos(\theta)+isin(\theta))^2\\\\z^2=cos(2\theta)+isin(2\theta)\ \ (Moivre)

Posons : z^2=X+iY

Alors ,

X=cos(2\theta)\\\\X=2cos^2(\theta)-1\\\\X=2x^2-1\\\\2x^2=1+X\\\\\boxed{x^2=\dfrac{1+X}{2}}

et

y^2=sin^2(\theta)\\\\y^2=1-cos^2(\theta)\\\\y^2=1-x^2\\\\y^2=1-\dfrac{1+X}{2}\\\\y^2=\dfrac{2-1-X}{2}\\\\\boxed{y^2=\dfrac{1-X}{2}}
x=cos(pi/8) ==> X=cos(pi/4)=(rac(2))/2
x²=(1+X)/2==> cos²(pi/8)=[1+(rac(2)/2)]/2=[2+(rac(2)]/4
cos(pi/8)=rac[2+rac(2)]/2.

idem pour sin(pi/8)
Voir ici : http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\x=cos(\frac{\pi}{8})\Longrightarrow&space;X=cos(2\times\frac{\pi}{8})=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}&space;\\\\x^2=\frac{1+X}{2}\Longrightarrow&space;cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\\\..................\Longrightarrow&space;cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}\\\\..................\Longrightarrow&space;cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\\\..................\Longrightarrow&spac
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\x=cos(\frac{\pi}{8})\Longrightarrow&space;X=cos(2\times\frac{\pi}{8})=cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}&space;\\\\x^2=\frac{1+X}{2}\Longrightarrow&space;cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\\\\....\Longrightarrow&space;cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}\\\\....\Longrightarrow&space;cos^2(\frac{\pi}{8})=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\\\....\Longrightarrow&space;cos(\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
Désolé pour l'adresse mais elle était trop longue. Je l'ai raccourcie.
Y a pas dz soucis! parfait super merci pour tout! :)