Bonsoir ! Donc j'ai un dm de maths, et il me reste un exo, que je ne comprend absolument PAS ! J'ai réussi à comprendre le 1 grace à internet mais bon..
Alors c'est
1) Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que : P(x-1)-P(x)=2x et P(0)=0
-> P(x) = ax² +bx + c
a(x-1)² + b (x-1) + c - (ax² + bx + c) = 2x
-2ax + a - b = 2x
donc -2a=2 ce et a-b=0 donc a=-1 et b=-1
2) En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: S=2+4+...+2n
Je ne comprends pas ce qu'on me demande de faire, et j'aimerai bien avoir la solution s'il vous plait
3) En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

2
arce que P(x)=(1/6)(x-1)(2x-1) est tel que P(x+1)-P(x)=x².

Donc 1²+2²+3²+...+n² = [P(2)-P(1)] + [P(3)-P(2)] + [P(4)-P(3)] + ... + [P(n+1)-P(n)]

Et comme pour le 1), seuls deux termes survivent ..
3$S_1=2^2+4^2+...+(2n)^2=\Bigsum_{k=1\\\mathrm{k pair}}^{2n}k^2

(là, on va réécrire la somme de façon plus simple)

3$S_1=\Bigsum_{k=1}^{n}(2k)^2

A toi de continuer !

3$S_2=1^2+3^2+...+(2n+1)^2=1^2+2^2+3^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2^\ -\ (2^2+4^2+...+(2n)^2)

(on complète S2 avec les termes pairs manquants, de façon à obtenir l
somme bien connue des carrés des (2n+1) premiers entiers, puis on retire la somme des carrés des entiers pairs ... qu'on connaît déjà puisque c'est S1 !)

3$S_2=1^2+2^2+3^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2^\ -\ S_1
Il est tombé en syncope là?
que signifie Bigsum.. 3$S_2 ... ?

Réponses

  • Utilisateur Brainly
2013-11-18T23:41:49+01:00
Pour la question 1 , ON SAIT qu'un polynôme de degré 2 est de la forme P(x)= ax2 + bx + c  ,  a  non nul (c'est la définition d'un polynôme)

on veut donc que P(x-1) - P(x) = 2x  soit encore

a(x-1)2 + b(x-1) + c -  (ax2 + bx + c )= 2x ,

ce qui équivaut à :

-2ax + a -b = 2x  ,  et cela est une identité de deux polynômes donc :   -2a = 2 et  a-b=0  d'où   a=-1 et b aussi. Sauf erreur calcul (heure du repas j'y vais)
Meilleure réponse !
2013-11-19T00:45:53+01:00
1) P(n-1)-P(n)=2n et P(n)=-n²-n
Donc la somme des n premiers nombres pairs c'est sygma de k=1 à n de P(k-1)-P(k).
Donc S= P(0)-P(1)+P(1)-P(2)+P(2)-P(3)+..............P(n-1)-P(n)= P(0)-P(n)
=0-(-n²-n)=n²+n= n(n+1)
S=n(n+1)
2) P(n-1)-P(n)=2n donc (P(n-1)-P(n))/2 =n
Donc la somme des n premiers nombres c'est sygma de k=1 à n de (P(k-1)-P(k))/2
donc c'est S/2= n(n+1)/2