Réponses

2013-11-17T22:13:57+01:00
Bonsoir 

 (2x + 1)e^{-x} + 2=2xe^{-x}+e^{-x}+2

\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int[2xe^{-x}+e^{-x}+2)dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx

Une primitive de e^{-x} est -e^{-x}

Une primitive de 2 est 2x.

Calcul d'une primitive de  2xe^{-x}

Calculons-la par parties en utilisant la formule  \int fg'=fg-\int f'g

f(x) = 2x ==> f'(x)=2
g'(x)=e^{-x} ==> g(x)=-e^{-x}

Donc nous avons :

\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})-\int 2\times (-e^{-x})dx\\\\\int 2xe^{-x}dx=2x\times(-e^{-x})+2\int e^{-x}dx

Comme une primitive de e^{-x} est -e^{-x}, nous avons : 
 
\int 2xe^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}+k


Par conséquent : 

\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=\int2xe^{-x}dx+\int e^{-x}dx+\int2dx\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2xe^{-x}-2e^{-x})-e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=-2xe^{-x}-3e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=(-2x-3)e^{-x}+2x+K\\\\\int [(2x + 1)e^{-x} + 2]dx=2x-(2x+3)e^{-x}+K


Excuse-moi pour les multiples éditions et corrections de la réponse, mais ce n'est pas toujours évident d'écrire en Latex. Mais maintenant, c'est la bonne ! :)