Bonsoir ,

Pouvez vous m'aider pour cet exercice de maths s'il vous plait , voici l'énoncé:

Exercice I
1) En utilisant (1+x) au carré , calculer Sn= 1+2+3....+n ou n est un entier naturel.
2) En utilisant (1+x) au cube , calculer Sn=1 au carré + 2 au carré +3 au carré +....+ n au carré ou n est un entier naturel.

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Réponses

2013-11-16T23:41:06+01:00
Bonsoir,
Calculons S_n=1+2+3+...+n


On sait que (1+x)^2 = 1 + 2\times x + x^2

Dans cette égalité remplaçons x successivement par 1, 2, 3, ... , n.
\left\{\begin{array}l (1+1)^2=1+2\times 1 + 1^2\\(1+2)^2=1+2\times 2 +
2^2\\(1+3)^2=1+2\times 3 + 3^2\\...\\(1+n)^2=1+2\times n +
n^2\end{array}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}l 2^2=1+2\times 1 +
1^2\\3^2=1+2\times 2 + 2^2\\4^2=1+2\times 3 + 3^2\\...\\(1+n)^2=1+2\times n +
n^2\end{array}
Ajoutons membre à membre ces équations entre elles.
2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = (1+1+1+...+1)+(2\times1+2\times2+2\times3+...+2\times
n)+(1^2+2^2+3^2+...+n^2)\\2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 =
(1+1+1+...+1)+2(1+2+3+...+n)+(1^2+2^2+3^2+...+n^2)\\2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 =
n+2\times S_n+1^2+2^2+3^2+...+n^2
Soustrayons dans chaque membre les termes identiques.
(1+n)^2 = n+2\times S_n+1^2\\(1+n)^2 = 2\times
S_n+(n+1)\\2S_n=(1+n)^2-(n+1)\\2S_n=(1+n)\times[(1+n)-1]\\2S_n=(1+n)\times
n\\S_n = \dfrac{(1+n)\times n}{2}\\\boxed{1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}
*************************************************************************************
 Calculons  T_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2

(1+x)^3 = 1^3 +
3\times 1^2\times x + 3\times 1\times x^2+x^3
Dans cette égalité remplaçons x successivement par 1, 2, 3, ... , n.
\left\{\begin{array}l (1+1)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 1 + 3\times
1\times 1^2+1^3\\(1+2)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 2 + 3\times 1\times
2^2+2^3\\(1+3)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 3 + 3\times 1\times
3^2+3^3\\...\\(1+n)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times n + 3\times 1\times
n^2+n^3\end{array}
\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}l 2^3 = 1 + 3\times 1 + 3\times 1^2+1^3\\3^3 = 1 +
3\times 2 + 3\times 2^2+2^3\\4^3 = 1 + 3\times 3 + 3\times
3^2+3^3\\...\\(1+n)^3 = 1 + 3\times n + 3\times n^2+n^3\end{array}
Ajoutons membre à membre ces équations entre elles, regroupons suivant la même méthode que dans la première partie et soustrayons dans chaque membre les termes identiques.
Il restera 
(1+n)^3=n+3(1+2+3+...+n)+3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) +
1\\(1+n)^3=n+3(1+2+3+...+n)+3\times T_n + 1
Or, dans la 1ère partie, nous avons démontré que :  1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
Par conséquent, nous avons: 

(1+n)^3=n+\dfrac{3n(n+1)}{2}+3\times
T_n + 1\\(1+n)^3=3\times T_n+\dfrac{3n(n+1)}{2}+n+
1\\3T_n=(1+n)^3-\dfrac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\\3T_n=(1+n)[(1+n)^2-\dfrac{3n}{2}-1]\\3T_n=(1+n)[1+2n+n^2-\dfrac{3n}{2}-1]\\3T_n=(1+n)(n^2+\dfrac{n}{2})\\3T_n=n(1+n)(n+\dfrac{1}{2})\\3T_n=n(1+n)(\dfrac{2n+1}{2})\\3T_n=n(1+n)(n+\dfrac{1}{2})\\T_n=n(1+n)(\dfrac{2n+1}{6})\\\boxed{T_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}