DM : Un problème d' optimisation

Une entreprise fabrique des boîtes de conserve cylindrique de 1 litre (1000 cm³). Pour utiliser le moins de métal possible, on cherche à minimiser la surface de la boîte.
On se propose donc de chercher une approximation du rayon x de la boîte cylindrique de hauteur h contenant un litre, qui va rendre la surface de la boîte minimale.
Première Partie : recherche de l'expression de la surface de la boîte en fonction de de x
1- Exprimer le volume V en fonction de h et de x. Comme ce volume est de 1000 cm³, en déduire h en fonction de x. (les formules de volumes seront utiles).
2-Exprimer l'aire latéral de la boîte (c'est un rectangle) et les aires des deux bases circulaires. 2000
En déduire que la surface totale de la boite (en cm²) est : f(x) = 2πX² + ˉˉˉˉˉˉˉˉ
X
Deuxieme Partie : approximation du minimum de la fonction
1- Programmer cette fonction et visualiser la courbe dans une fenetre : X € [0;15]
Y € [-100; 1200].
Reproduir l'écrand de Géo Gébra
JE SAIS FAIRE CELA DONC VOUS POUVEZ SAUTER !!!
2-A l'aide de la tablette de votre calculatrice, rechercher une valeur approchée à 0,1 près du rayon X qui rend la surface minimale. Affiner votre recherche et trouver une valeur approchée à 0,01 près (Vous pouvez aussi utiliser le solveur graphique pour les CASIO).
JE NE COMPREND RIEN A CELA !!!!
3-Calculer alors le diametre et la hauteur de la boîte (une approximation) pour cette valeur approchée. Quelle particularité trouve t-on ?
Troisième Partie : Si la Boîte est cubique, le volume d'un litre, donner l'arrête du cub, puis calculer la surface totale de la boîte. Comparer à la surface de la boîte cylindrique.

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-11-12T11:46:41+01:00
Bonjour,

2. Puisque la courbe a été visualisée dans la question précédente, nous voyons que f admet un minimum pour x compris entre 5 et 6.

Dans le menu TABLES de la calculatrice, nous introduisons l'expression de f(x) avec les paramètres :
Start : 5 ; End : 6 ; Step = 0,1

Dans le tableau nous voyons ceci : 
...
x = 5,3 ==> f(x) = 553,8531658 
x = 5,4 ==> f(x) = 553,5880539 
x = 5,5 ==> f(x) = 553,7027192 
...
La valeur de x rendant minimale la fonction f est x = 5,4 (à 0,1 près)

Pour affiner la recherche à 0,01 près, nous changerons les paramètres.
Start : 5.3 ; End : 5.5 ; Step = 0,01

Dans le tableau nous voyons ceci : 
...
x = 5,41 ==> f(x) = 553,582663 
x = 5,42 ==> f(x) = 553,5810549 
x = 5,43==> f(x) = 553,5832157 
...
La valeur de x rendant minimale la fonction f est x = 5,42 (à 0,01 près) et l'aire totale vaudra environ 553,58 cm².

3) Le diamètre la base vaut 2x = 2 * 5,42 = 10,84 cm
La hauteur a été exprimée dans la première partie de l'exercice (h=\dfrac{1000}{\pi x^2}).
Sa longueur est h=\dfrac{1000}{\pi (5,42)^2}\approx 10,84\ cm

Pour utiliser le moins de métal possible, il faut que le diamètre de la base soit égal à la hauteur de la boîte.

Troisième partie

Si x est l'arête du cube, alors x^3=1000
Donc l'arête du cube est  x= \sqrt[3]{1000} = 10

La surface totale est donnée par 6 carrés de côtés égaux à 10 cm.

L'aire totale vaut 6 * 10² = 6 * 100 = 600 cm²

Cette aire totale est supérieure à celle que l'on obtient avec le cylindre puisque 600 > 553,58.