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Abcd est un trapèze rectangle tel que AB=6cm AD=4cm et CD=2 cm.Le
abcd est un trapèze rectangle tel que AB=6cm AD=4cm et CD=2 cm.Le point M decrit le segment [ad]. On construit le rectangle AMNP ou n et p appartiennent respectivement aux segment [BC] et [AB] on admet alors que BP=AM=x.On appelle f(x) l'aire en cm2 du rectangle AMNP.On admet que (C) est la courbe représentative de la fonction f dans le repere (ō;ī;j).
Verifier que f(x)=-8=1-(x-3)2
En deduire alors par le calcul la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle AMNP vaut 8cm2

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Réponses

2013-11-11T20:29:04+01:00
Bonsoir,

1) L'aire du rectangle AMNP = AM x AP.

Or : AM = x  et  AP = AB - PB = 6 - x.

L'aire du rectangle AMNP = f(x) = x(6 - x)

Pour vérifier que f(x) - 8 = 1 - (x - 3)², il suffit de développer les deux membres.

D'une part, f(x) - 8 = x(6 - x) - 8
f(x) - 8 = 6x - x² - 8
f(x) - 8 = -x² + 6x - 8

D'autre part, 1 - (x - 3)² = 1 - (x² - 6x + 9)
1 - (x - 3)² = 1 - x² + 6x - 9
1 - (x - 3)² = -x² + 6x - 8

Les membres de droites étant égaux, nous avons bien f(x) - 8 = 1 - (x - 3)².

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L'aire du rectangle AMNP vaut 8 cm² signifie que f(x) = 8
ou encore que f(x) - 8 = 0.

En utilisant la première partie de  l'exercice, nous devons donc résoudre l'équation : 
1 - (x - 3)² = 0
ou encore
1² - (x-3)² = 0
Utilisons l'identité remarquable  : a² - b² = (a + b)(a - b) avec a = 1 et b = (x-3)

[1 + (x - 3)][1 - (x - 3)] = 0
(1 + x - 3)(1 - x + 3) = 0
(x - 2)(4 - x ) = 0
x - 2 = 0  ou  4 - x = 0
x = 2 ou x = 4