au café du village, Amédée et Batite discutent du prochain remembrement. Le premier exploite un champ rectangulaire de 637 mètres de long sur 591 mètres de large. La commission chargée du dossier lui propose de raccourcir la largeur et d'augmenter la longueur d'un ememe quantité x non nulle. Cela le rend doublement heureux : d'une part le champ plus long sera plus facile à travailler et d'autre part, il est sûr que sa surface sera augmentée !

Le second essaye de le convaincre que la surface ne changera pas.

1) démontrer qu'ils ont tous les deux tort

a - démontrer que si c'est la longueur que l'on raccourcit et la largeur que l'on augmente de la meme quantité x, alors, selon les valeurs de x, la surface du champ peut augmenter ou diminuer

b) de quelle meme quantité x faudrait-il raccourcir la longueur et augmenter la largeur pour que la surface du champ reste inchangée ?

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Réponses

2013-11-04T18:06:48+01:00
Surface actuel du champ (Sa)
Sa=L*l = 637*591 = 376467 m² (ou * signifie multiplié par)

1)Surface proposé par la commission
Nouvelle largeur : ln=l-x= 591-x
Nouvelle Longueur : Ln=L+x = 637+x
Nouvelle surface :
Sn = Ln*ln
Sn = (591-x)(637+x)
Sn =  591*637+591x-637x-x²
Sn =  376467 -46x - x²
Sn =  376467 -x(46 - x)
Sn = Sa -x(46 - x)

x différent de 0.
Donc le nouvelle surface est différente de l'actuelle.
Batite à tord.
Cette surface sera diminué puisque on obtient
La surface actuelle (376467 m²) moins une certaine surface
Donc Amédée aussi a tord.

a)
Si longueur diminuer : L-x = 637-x
largeur augmente : l+x = 591+x
S = L*l
S = (637-x)(591+x)
S= 376467+637x-591x-x²
S= 376467+46x-x²
S= 376467+x(46-x)
S= Sa +x(46-x)

La surface augmente quand x(46-x)>O parce qu'on ajoute du terrain à la surface actuelle.
Quand x(46-x)<0, donc négatif, la surface diminue car on enlève du terrain a la surface actuelle.

b) pour que la surface reste inchagé il faut que
S = Sa
376467+x(46-x) = 376467
x(46-x)=0
x=0 n'est pas possible puisque x est non nul.
donc
46-x = 0
-x= -46
x=46

Dans ce cas, la surface reste inchangée pour x=46 m.