Un est la suite définie par U0=2 et, pour tout entier naturel n, Un+1=U²n.

a)Démontrer que la suite est croissante et minorée par 2.

b)Démontrer que la suite Un n'est pas majorée.

c)En déduire la limite de la suite Un.

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Réponses

2012-10-02T19:15:40+02:00

a) Tu traites les deux par récurrence (possible de le faire en une seule fois.)
b) Suppose qu'elle est majorée, et trouve une contradiction. (Assez facile à trouver)
c) Croissante et non majorée (théorème du cours).

 

Voilà. :) 

2012-10-02T19:16:45+02:00

pour la a) fait une démonstration par récurrence

initi:  soit pn : 2≤Un

U0 = 2 donc P0 est vraie

hérédité

Supposons Pn vraie pour un entier n

alors 2≤Un

4≤Un^2

4≤Un+1 a fortiori 2≤Un+1

 

on vient de démontrer si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie

comme P0 est vraie pour tout n entier naturel on a

2≤Un

 

donc Un est minorée par 2 (remarque il y'a  une infinité de minorants)

 

tu fais par récurrence avec l'autre aussi

et b et c c'est dit par krueger autrement tu peut définir la suite Un qui est géométrique

en effet Un+1 = Un^2 Un+2=(Un^2)^2 Un=2^(2n) laisse sous cette forme sinon ça ne marchera plus.