Réponses

2013-11-02T14:52:07+01:00
Bonjour,

a)
Je considère que tu dois résoudre l'équation suivante :
\frac 1x - \frac 1{x+1} = \frac 16
On commence par déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces équations. Ici, on a juste des x au dénominateur, or un dénominateur n'est jamais nul. On doit donc chercher les valeurs de x telles que l'un au moins des dénominateurs soit nul, cad :
x = 0\\
\text{ OU}\\
x+1 = 0\\
x = -1
On a identifié deux valeurs interdites, qui sont 0 et -1 ; l'ensemble de définition est donc :
\mathbb R \backslash \left\{-1 ; 0\right\}

Maintenant, on peut additionner les écritures fractionnaires en utilisant les règles de calcul : \frac 1x - \frac 1{x+1} = \frac 16\\
\frac{\left(x+1\right)-x}{x\left(x+1\right)} = \frac 16\\
\frac{1}{x\left(x+1\right)} = \frac 16

On fait un produit en croix puis on résout :
6 = x\left(x+1\right)\\
x^2+x-6 = 0\\
\Delta = 1^2-4\times 1\times \left(-6\right) = 25\\
x_1 = \frac{1+\sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3\\
x_2 = \frac{1-\sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2\\
S = \left\{-2 ; 3\right\}

b)Je considère l'équation :
\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} = 8
Les valeurs interdites sont données par les équations :
x+2 = 0
x = -2
OU
x - 1 = 0
x = 1
L'ensemble de définition est donc :
\mathbb R \backslash \left\{-2 ; 1\right\}

On réduit puis on résout :
\frac{1}{x+2}- \frac{1}{x-1} = 8\\
\frac{\left(x-1\right) - \left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)} = 8\\
\frac{-3}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)} = 8\\
8\left(x+2\right)\left(x-1\right) = -3\\
8x^2+8x-16 = -3\\
8x^2+8x-13 = 0\\
\Delta = 8^2-4\times 8 \times \left(-13\right) = 480\\
x_1 = \frac{-8+\sqrt{480}}{2\times 8} = \frac{\sqrt{30} - 2}{4}\\
x_2= \frac{-8-\sqrt{480}}{2\times 8} = \frac{-\sqrt{30} - 2}{4}\\
S = \left\{\frac{\sqrt{30} - 2}{4} ; \frac{-\sqrt{30} - 2}{4}\right\}

Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.