J'ai un DM et je ne comprends rien, je n'y arrive pas, pouvez vous m'aider SVP

U et V sont des fonctions définies sur un intervalle I. On se propose d'étudier, dans certaines situations, le sens de variation de la fonction UV.

1) On suppose u,v croissante sur I et, pour tout nombre réel x de I, u(x)>=0, v(x)>=0
a) Par exemple, u et v sont definies sur [0;+infini[ par: u(x)= x² et v(x)= Racine carrée de x.
1B)De façon générale, a et b désignent deux nombres réels de l'intervalle I tels que a<=b.
Comparez successivement *u(a)v(a) et u(b)v(a)
*u(b)v(a) et u(b)v(b)
En déduire que la fonction UV est croissante sur I.

2) On suppose u,v croissantes sur I et,pour tout nombre réel x, u(x)<=0 et v(x)<=0;
Par exemple, u et v sont definies sur ]-infini;0] par: u(x)=x et v(x)= -x²
Tracer a l'écran de la calculatrice, la courbe représentative de la fonction uv et conjecturer son sens de variation (je ne sais pas quelle est la fonction uv...)
b)Démontrer, de façon générale que la fonction UV est décroissante sur I.

3) On suppose u croissante sur I, v décroissante sur I et, pour tout nombre réel x de I, u(x)>=0 et v(x)<=0.
a) Par exemple, u et v sont definies sur [0;+Infini[ par u(x)=2x+1 et v(x)=-x².
Tracer a l'ecran de la calculatrice, la courbe représentative de la fonction UV. Conjecturer son sens de vatiation. (Même probleme, je ne sais pas quelle est la fonction UV...)
b) Déterminer, dans le cas général, le sens de variation de la foncion UV.

4) (et le meilleur pour la fin..) Donner un exemple de deux fonctions u et v croissantes sur un intervalle I telles que la fonction UV ne soit Ni croissante Ni décroissante sur I.

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Réponses

2013-10-30T15:28:13+01:00
1) a] a=< b  u(x) >=0 et v(x)>=0 
   donc u(a)=<u(b) et v(a)=< v(b) 
u(a)v(a)=< u(b)v(a) 
u(b)v(a)=<u(b)v(b) 
donc u(a)v(a)=<u(b)v(b) donc uv(a)=<uv(b) donc uv est croissante sur I 

b] u(x)=<0  v(x)=<0 et a=<b 
u(a) >= u(b) et v(a) >= v(b) 
u(a)v(a)>=u(b)v(b) 
donc uv(a)>=uv(b) donc uv est décroissante sur I 

2) u(x) est croissante sur I donc u(a) =< u(b) et u(x)>=0 
   v(x) est décroissante sur I donc v(a)>=v(b) et v(x)=<0 
donc u(a)v(a)=< u(b)v(a)>=v(b)u(b) 
donc uv n'est pas monotone 

Moi je ferais sa pour les 2 premières.
Merci beaucoup ! Par contre pour le 1B, tu est sure que u(a)v(a) n'est pas <= u(b)v(b) ; parce que ce sont des positives et qu'on nous dit au debut que la courbe est croissante.. ?
Ou alors si tu pouvais m'expliquer comment tu as trouve superieur.. merci :)
Par contre je n'ai aps compris pourquoi "monotone" pour le 2...?