Réponses

Meilleure réponse !
2013-10-28T13:50:44+01:00
a) x est le diamètre d'un des deux cercles. La plus petite valeur possible est 0 cm et la plus grande est le diamètre du cercle qui est autour des deux autres : 10 cm.
Donc x appartient à [0;10]

b)  Expression algébrique de f(x).
Nous avons deux cercles blancs : un petit C1 de diamètre x et un grand C2 de diamètre 10-x
f(x) est la somme des aires de ces deux cercles (rappel Aire d'un cercle = PiR² = PiD²/4 ou R est le rayon et D le diamètre)
Aire C1 = Pi x²/4  
Aire C2 = Pi (10-x)²/4
Or (10-x)² est une identité remarquable de la forme (a-b)² = a²-2ab+b²
(10-x)²= 10²-2*10*x +x²
(10-x)²= 100-20x +x²
 Aire C2 = Pi (100-20x +x²)/4 
 Donc f(x) = Pi x²/4 + Pi (100-20x +x²)/4
 Mettons Pi/4 en facteur, on obtient
f(x) = (Pi /4) (x²+100-20x +x²)
f(x) = (Pi /4) (100-20x +2x²)
Mettons 2 en facteur du second facteur
f(x) = 2(Pi /4) (x²-10x+50)
f(x) = (Pi /2) (x²-10x+50)

 c) En entrant la fonction trouvée à la question b, tu devrais obtenir une courbe qui ressemble à celle qui est en pièce jointe.

d) On peut conjecturer que la courbe f(x), définit sur [0;10], passe par un minimum pour x=5.

e) f(5)  = (Pi/2)(5²-10*5+50)
f(5)  = (Pi/2)(25-50+50)
f(5 )= 25(Pi/2) 

 f(x)-f(5) = (Pi/2)(x²-10x+50) - 25*Pi/2
On met Pi/2 en facteur
f(x)-f(5) = (Pi/2)(x²-10x+50 – 25)
f(x)-f(5) = (pi/2)(x²-10x+25)
or x²-10x+25 est une identité remarquable de la forme a²-2ab+b²=(a-b)²
donc f(x)-f(5).= (Pi/2)(x-5)²  

Or (Pi/2)(x-5)² > 0 ou (Pi/2)(x-5)² = 0
Donc f(x) > f(5) ou f(x) = f(5)
D'où f(x) passe par un minimum pour x=5.  

Tu n'as plus qu'à tracer la courbe. Tu l'as sur le schéma fourni.