Bonjour, niveau 1erS!
ABCD est un carré de côté 1.
les triangles ABE et BCF sont équilatéraux.
H et K sont les milieux respectifs de [AB] Et [BC]
On se proprose de démontrer que D,E,F sont alignés!

Question 1. je ne sais pas du tout comment faire ...
Question2, j'ai réussi !
Q3, dans la mesure ou il faut déterminer est-ce qu' il faut justifier?
sinon j'ai trouvé D (0;0)
E(1/2; rac3/2)
F (rac3/2 +1 ; 1/2 )

Q4.
si je montre que les vecteurs de et ef sont colinéaire, il faut que calcule leur coordonnées, et si ils sont colinéaire grâce a un nb k alors les points seront alignés?

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Réponses

Meilleure réponse !
2013-10-27T18:26:44+01:00
Bonjour,

1)On sait que (EH) et (AB) sont perpendiculaires (en effet, dans un triangle équilatéral, la  médiane et la hauteur issues d'un sommet sont confondues) ; le triangle EAH est rectangle en H, d'où :
EA^2 = AH^2+EH^2\\
EH = \sqrt{EA^2-AH^2 } = \frac{\sqrt 3}{2}
Même chose pou KF, qui a donc la même longueur.

3)Je suis d'accord avec tes résultats. Je pense qu'il ne faut pas forcément justifier quand les résultats sont évidents, mais on peut faire, par exemple, pour le point E :
On a (EH) // (AD) et
EH = \frac {\sqrt 3}2
et (AH) // (AB) et AH = 1/2 et (EH) et (AH) perpendiculaires.
On en déduit les coordonnées du point E.

Je suis d'accord avec tes résultats, sauf pour D(0;1).

4)Calculons les coordonnées des vecteurs DE et EF.

\vec{DE} \left(\begin{array}{c}x_E - x_D\\ y_E-y_D}\end{array}\right)\\
\vec{DE} \left(\begin{array}{c}\frac12 -0\\ \frac{\sqrt 3}{2}-1}\end{array}\right)\\
\vec{DE} \left(\begin{array}{c}\frac12\\ \frac{\sqrt 3}{2}-1}\end{array}\right)\\

\vec{EF} \left(\begin{array}{c}x_F - x_E\\ y_F-y_E}\end{array}\right)\\
\vec{EF} \left(\begin{array}{c}1+\frac{\sqrt3 }{2}- \frac 12 \\ \frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}}\end{array}\right)\\
\vec{EF} \left(\begin{array}{c}\frac 12+\frac{\sqrt3 }{2} \\ \frac 12-\frac{\sqrt 3}{2}}\end{array}\right)

Deux vecteurs u(x,y) et v(x',y') (avec les flèches) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées vérifient :

xy'-y'x = 0

On calcule :
\frac 12 \left(\frac 12 - \frac{\sqrt 3}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt 3}{2} -1\right)\left(\frac 12 + \frac{\sqrt 3}{2}\right) = \frac 14 - \frac{\sqrt 3}{4} - \left(\frac{\sqrt 3}{4}+\frac 34 -\frac 12 -\frac{\sqrt 3}{2}\right)\\
=\frac 14 -\frac{\sqrt 3}{4} -\left(-\frac{\sqrt 3}{4}+\frac 14\right) = 0

Les vecteurs DE et EF (avec les flèches) sont colinéaires ; les points D, E et F sont alignés.

Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.
Bonjour, merci pour votre aide!
Pour la question un, comment peut-on connaitre la longueur de EA?