Soit s et p deux nombres reel donnée
On se demande s'il existe (au moins) on se demande s'il existe au moins deux réels u et v verifiant la condition *: ( {{ = grande accolade)
{ u+v=S
{ uv=P
1.Soit P la proposition :
P : ∃ u, v € R, {u+v=S
{uv=P
a. Traduire P en langage courant
b. On suppose P vraie. Démontrer que les réels u et v satisfont alors l'équation :
X² - SX + P =0
2, Réciproquement, montrer que si l'équation X² - SX + P =0 admet deux solutions u et v (éventuellement identiques), alors le couple u;v est solution du système.(*)
3, En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que le système (*) admette au moins un couple solution.
4. soit deux résistors de résistance respectives R1 et R2. Lorsque les résistors sont montés en série, ils ont une résistance équivalente à R = R1 + R2. Lorsqu'il sont montés en parallèle, ils ont une résistance équivalente R' telle que 1/R1 = 1/R2 + 1/R' . Peut-on choisir R1 et R2 pour que :
R1=2,5Ω et R2=0,4Ω

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Réponses

2013-10-12T21:33:45+02:00
1)
a) Il existe u et v appartenant à IR tel que u+v = s et uv = p
b) On a u^2 - su + p = u^2 - (u+v)u + uv = u^2 -u^2 - uv + uv = 0
et v^2 - sv + p = v^2 - (u+v)v + uv = v^2 -v^2 - uv + uv = 0
donc u et v satisfont l'équation X^2 - sX + p = 0
2) L'équation X^2 - sX + p = 0 admet des solutions si d = s^2 - 4p est supérieur ou égal à 0, donc u = (s +  \sqrt{s^2 - 4p} )/2 et v = (s -  \sqrt{s^2 - 4p} )/2 , donc uv =  \frac{ s^{2}- ({ s^{2}-4p } ) }{4} = (s^2-s^2+4p)/4=(4p)/4=p
et u + v = (2s)/2 = s
Donc u et v solutions du système (*) .
3) La condition est : s^2 - 4p supérieur ou égal à 0
4) Il y a deux erreurs dans l'énoncé:
(1/R')=(1:R1)+(1/R2) et non (1/R1)=(1/R2)+(1/R') ainsi que les données numériques concernent R et R' , et non R1 et R2.
La réponse à la question donnée est : OUI
R et R' sont les solutions de l'équation X^2 - (2,5 + 0,4)X + (2,5 x 0,4) = 0
qui est équivalente à X^2 - 2,9 X + 1 = 0 qui donne R = 2,5 ohm et R' = 0,4 ohm