Bonjour j'ai besoins de votre aide en mathématique je suis en classe de première STI2D,
Mon exercice est le suivant : Pour fabriquer une affiche publicitaire, on veut utiliser une feuille de papier rectangulaire de 300 cm², de dimensions x et y exprimées en cm.
Les marges du haut et du bas mesurent 2 cm, celles des côtés 1,5 cm.
On se propose de déterminer les dimensions de l’affiche pour que l’aire de la surface imprimable soit maximale.
On exprimera les longueurs en cm et les aires en cm².

1. a) Exprimer l’aire A de la surface imprimable, en fonction de x et y.
b) D’après l’énoncé, quelle relation lie x et y ? Exprimer alors y en fonction
de x.
c) En déduire l’expression de A en fonction de x seulement.
2. Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par : f (x) = 312−(900/x)-4x.

a) Montrer que f'(x)=(900-4x²)/x²

b) Étudier le signe de f(x).
c) En déduire le tableau de variation de f sur [0;+∞[.
d) Montrer que f admet un maximum. Donner la valeur de ce maximum
(on ne demande pas de représentation graphique).
3. Déduire des questions précédentes, les dimensions de l’affiche pour que
l’aire de la surface imprimable soit maximale.

Voilà désolé de la longueur mais je demande de l'aide aux personnes pour qui les maths est un jeu d'enfants.
Merci d'avance ;)


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Réponses

2017-01-08T19:31:17+01:00
Bonsoir,
1a)
En prenant largeur = x  et hauteur = y

Aire Totale = xy = 300    ⇒  y = 300/x

Aire Imprimable = (x-3)(y-4)
 Aire imprimable = xy - 3y - 4x + 12 
 en remplaçant y par la valeur du dessus on obtient
Aire imprimable = x(300/x) - 3(300/x) - 4x + 12
                          =300 - 900/x - 4x + 12 
                          = 312 - (900/x) - 4x    CQFD 
2)
f(x) = (-900/x) - 4x + 312 
f(x) = ( -4x² + 312x - 900) / x² 

sa dérivée sera
f ' (x) = [(-8x+312)x - (4x² +312x -900)] / x² 
f ' (x) = ( -8x² + 312x + 4x² - 312x + 900) / x² 
f ' (x) = (-4x² + 900) / x² 
b)
f(x) = (-4x² + 312x - 900) / x²            x² > 0    

-4x² + 312x - 900  
Δ = 97344 - 14400 = 82944    ⇒√Δ = 288    
x ' = (-312 - 288)/-8 = 75 
x" = (-312 + 288)/-8 = 3  
donc f(x) >0     pour x ∈  [ 3 ; 75 ]
je laisse le tableau de variation
d)
f(x) maxi pour f ' (x) = 0 
f ' (x) = (-4x² + 900) / x²   = 0 
donc
-4x² + 900 = 0    
x² = -900/-4 = 225   
x = √225 = 15 
3)
Les dimensions seront alors 
x = 15 et y = 300/x = 300/15 = 20 
Bonne soirée
Merci beaucoup, bonne continuation ;)