La ville BAUTEMPS possède une plainte de jeux bordée d'une piste cyclable.
La piste cyclable a la forme d'un rectangle ABCD dont a «cassé trois des coins».
Le chemin de G à H est un arc de cercle ; les chemins de E à F et de I à J sont des segments.
Les droites (EF) et (AC) sont parallèles.

Quelle est la longueur de la piste cyclable? Justifier.

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Réponses

2013-10-05T21:26:49+02:00
La longueur de la piste cyclable est :
AE+EF+FG+GH+HI+IJ+JA
Calcul de AE
AE=AB-EB=288-48= 240 m

Calcul de EF
Les droites (EF) et (AC) sont parallèles
d'après le théorème de Thalès
EB/AB=EF/AC
donc EF=AC*EB/AC =312*48/288 = 52 m

Calcul de GC
GC=BC-(BF+FG)
FG=52m
Calcul de BC
Le triangle ABC est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore :
AC²=AB²+BC²
donc BC²=AC²-AB²
BC²=312²-288²=97344-82944=14400
BC=V(14400)= 120 m
Calcul de BF
Le triangle EFB est rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore :
EF²=EB²-BF²
donc BF²=EF²-EB²=52²-48² = 2704-2304= 400
BF= 20 m
d'ou
GC=120-(20+52)=120-72=48 m

Calcul de l'arc GH
L'arc GH est une portion du cercle de rayon GC dont l'angle est 45°.
GH=45*2Pi*GC/360=45*48*Pi/180= environ 37,7 m

Calcul de IH
IH=DC-(DI+HC)
DC=AB=288 m
HC=GC=48m
IH=288-(29+48)= 211 m

Calcul de IJ
Le triangle IDJ est rectangle en D donc d'après le théorème de Pythagore :
IJ²=ID²+DJ²=29²+72²=841+5184=6025
IJ=V(6025)=77,62 m

Calcul de JA
JA=AD-JD
JD=BC=120
Ja=120-72=48 m

Donc la longueur de la piste cyclable est :
AE+EF+FG+GH+HI+IJ+JA
240+52+52+37,7+211+77,62+48=718,32 m

Merci
De rien, ça m'a sonné du fil à retordre, mais c'était stimulant.