Reims, septembre 2001 La figure représente une pyramide SABCD, de base le rectangle ABCD, dont l’arête [SD] est perpendiculaire à la face ABCD. On donne : AB = 72 mm, BC = 30 mm et SD = 75 mm. Cette figure n’est pas en vraie grandeur et elle n’est pas à refaire sur la copie.
1. Calculer l’aire du rectangle ABCD, en cm2. Calculer le volume de la pyramide SABCD, en cm3.
2. Calculer SA. Arrondir cette longueur au mm.
3. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la face ABCD, passant par le point H du segment [SD] situé à 50 mm de S. Soit EFGH la section obtenue. La pyramide SEFGH est une réduction de la pyramide SABCD.
a. déterminer EH
b Calculer le coefficient de réduction sous la forme d’une fraction irréductible.
c. En déduire l’aire du rectangle EFGH en cm2 et 1e volume de la pyramide SEFGH en cm3.

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Réponses

2013-10-05T13:42:03+02:00
1 Aire du rectangle = longueur*largeur
Aire(abcd)=AB*BC
AB=72mm=7,2cm
BC=30mm=3cm
Aire (abcd)=7,2*3= 21,6 cm²

Aire (pyramide)=1/3*volume de la base*hauteur
Aire (pyramide)=1/3*AB*BC*SD
SD=75mm=7,5cm
Aire (pyramide)=1/3*7,2*3*7,5=7,2*7,5= 54 cm3

2. Calculer SA. Arrondir cette longueur au mm.
Le triangle ADS est un triangle rectangle en D.
donc on utlise le théorème de Pythagore :

SA²=AD²+SD²

AD=BC=3 cm (puisque ABCD est un rectangle)

SA²=3²+7,5²=9+56,25=65,25
SA=V65,25 = 8,1 cm arrondi au mm près.

3. SH=50mm = 5cm
a. Les points S,H,D sont alignés dans cet ordre.
Les points S,E,A sont alignés dans cet ordre.
Les segments [EH] et [AD] sont parallèles.
Donc d'près le théorème de Thalès.
SH/SD = SE/SA = EH/AD
Donc 5/7,5=EH/3
EH=3*5/7,5= 2 cm

b. Le coefficient de réduction k est le nombre par lequel tu multiplies les dimensions de la grande pyramide pour obtenir les dimension de la petite.
donc k=SH/SD=5/7,5=50/75= 10/15
Le coefficient de réduction est k=10/15

c. k est le coefficient de réduction.
Donc l'aire sera réduite de k²
Aire(EFGH)=k²*Aire(ABDC)=(10/15)²*21,6 = 9,6 cm²

Le volume de la pyramide sera réduite de k^3
Volume(SEFGH)=k^3*Volume(SABCD)=(10/15)^3*54 = 16 cm3