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2013-10-04T23:04:49+02:00
   Soit x la longueur (en cm) du rectangle initial
      et y la largeur (en cm) du rectangle initial.

   Si l'on enlève 2 cm à la longueur, cela fait donc (en cm) :   x − 2
   Si l'on ajoute 2 cm à la largeur, cela fait donc (en cm) :      y + 2

   Comme la figure finale est un carré, on a :           x − 2  =  y + 2
    comme son aire est le double du rectangle initial, on a :     (x − 2) (y + 2)  =  2xy

   Ce qui nous donne un système d'équations.

   De la première équation, on tire que :    x  =  y + 4
   
   Ce qui fait donc, dans la seconde :        (y + 2)²  =  2(y + 4)y

                                          soit                   y² + 4y + 4  =  2y² + 8y
                                          d'où                 -y² − 4y + 4  =  0

   or le discriminant de cette équation est :  b² − 4ac  =  (−4)² − 4(4)(-1)  =  32

   elle admet donc deux solutions :
   —  soit   y  =  (4 − √32) / (-2)  =  -2 + √32/2
   —  soit   y  =  (4 + √32) / (-2)  =  -2 − √32/2

   Une longueur ne pouvant être négative la deuxième solution est impossible.

   Donc   y  =  -2 + √32/2
        et   x  =  2 + √32/2

   La longueur du rectangle est donc de (√32/2 + 2) cm
                       et sa largeur est donc de (√32/2 − 2) cm

   [Vérification :    xy  =  (√32/2)² − 2²  =  32/4 − 4  =  4
                           (x − 2) (y + 2)  =   (√32/2)²  =  8  =  2xy]