F est la fonction définie sur R par : f(x)= ax^3+bx^2+cx+d avec a, b, c, d quartes nombres réels fixes.
C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.
C passe par les points A(0;1) et B(1;2)
La tangente a C en B est horizontale et la tangente a C en A a pour coefficient directeur -1/3.
Déterminer les réels a, b, c et d.

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Réponses

2013-10-01T11:59:57+02:00
Bonjour
la courbe passe par A(0,1) ce qui veut dire que f(0) = 1
f(0) = a* 0 + b*0 + c*0 +d = d =1  donc d=1
elle passe aussi par B(1;2)  , f(1) = 2
f(1) = a* 1^3 + b* 1² + c*1 +d
mais comme on sait que  d = 1 , f(1) devient
f(1) = a + b + c + 1 = 2       
la tangente à la courbe au point B est horizontale, ce qui veut dire que la dérivée de cette fonction vaut zéro quand x =1 qui est le point d'abscisse de B, donc
f ' (1) = 0
calculons la dérivée de f
f ' (x) = 3ax² + 2bx + c et comme on sait maintenant que  f '(1) = 0 on écrit
f ' (1) = 3 a + 2 b + c = 0
La tangente à la courbe  en A à pour coefficient directeur - 1/3 ce qui veut dire d'après la définition du nombre dérivé que au point d'abscisse x=0 la dérivée de la fonction vaut -1/3
on écrit f '(0) = -1/3
f ' (0) = 3a*0 +2b*0 + c = -1/3
soit c = -1/3 on se retrouve alors avec 2 inconnues encore qui sont a et b mais on dispose de deux équations que l'on a trouvée, qui sont :
a + b + c = 1 et 3a + 2b + c = 0, maintenant qu'on connait la valeur de c on écrit
a + b - 1/3 = 1  et 3a + 2b -1/3 = 0 d'où l'on tire un système de deux équations à 2 inconnues
a + b = 4/3
3a + 2b = 1/3    on le résout et on trouve a = -7/3 et b =11/3, on a vu que d=1 et c=-1/3
L'équation de la droite est :
f(x) = -7/3 x^3 + 11/3 x² -1/3 x +1