Bonjour à tous, pourriez vous m'aider j 'ai un dm de math mais j 'ai été absente du a un problème de santé. Merci d'avance..
Je planche depuis quelques jours sur un exercice portant sur la somme et les produits des racines. Je vous recopie l'énoncé :

Soit un trinôme f(x) = ax² + bx + c avec a différent de 0 ; on note Delta son discriminant.

1) Si Delta > 0, on note x_1 et x_2 les deux racines du trinôme.
a. Montrer que leur somme S vaut -b/a et que leur produit P vaut c/a.
b. Que représentent b et c dans le cas où a = 1 ?
Conclusion Si deux réels sont les solutions de l'équation x^2 - Sx + P = 0, alors ces deux réels ont pour somme S et pour produit P.

c. Démontrer la réciproque de la propriété précédente en remarquant que les deux réels u et v sont les solutions de l'équation (x - u)(x - v)= 0, puis en développant.
2) Déterminer deux nombres dont la somme vaut 60 et le produit 851.
3) Résoudre les systèmes suivants :
a. \\ x + y = 29\\
\\ xy = 210 \\
b. \\ x + y = -1/6\\
\\ xy =-1/6\\
4) Déterminer les dimensions d'un rectangle dont l'aire vaut 221 m^2 et le périmètre 60 m

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Réponses

2013-09-25T15:20:16+02:00
F(x) = ax² + bx + c

Polynôme de la forme : ax² + bx + c, avec dans votre cas : 
a = a
b = b
c = c

Δ = b² - 4ac (discriminant)

x1 = (- b - √Δ) / 2a

x2 = (- b + √Δ) / 2a



a1) Montrer que : S = (x1 + x2) = - b/a

S = x1 + x2

S = [(- b - √Δ) / 2a] + [(- b + √Δ) / 2a]

S = [(- b - √Δ) + (- b + √Δ)] / 2a

S = [- b - √Δ - b + √Δ] / 2a

S = - 2b / 2a

S = - b/a


a2) Montrer que : P = x1 * x2 = c/a

P = x1 * x2

P = [(- b - √Δ) / 2a] * [(- b + √Δ) / 2a]

P = (- b - √Δ)(- b + √Δ) / (2a)²

P = (b² - b√Δ + b√Δ - Δ) / 4a²

P = (b² - Δ) / 4a²

P = (b² - [Δ]) / 4a²

P = (b² - [b² - 4ac]) / 4a²

P = (b² - b² + 4ac) / 4a²

P = 4ac / 4a²

P = c/a


b) Que représente b et c dans le cas ou a = 1

Si a = 1 → S = - b → b = - S (c'est l'opposé de la somme S)

Si a = 1 → P = c → c = P (c'est le produit P)

c) Démontrer la réciproque de la propriété précédente en remarquant que le deux réels u et v sont les solutions de l'équation (x - u)(x - v) = 0

Premier cas : (x - u) = 0 → x = u

Deuxième cas : (x - v) = 0 → x = v


(x - u)(x - v) = 0

x² - xv - xu + uv = 0

x² - x(v + u) + uv = 0


Si on pose : u + v = S

Si on pose : uv = P


... on obtient alors : x² - xS + P = 0 → x² - Sx + P = 0
2013-09-25T17:39:39+02:00
En réponse aux questions 3 et 4 
3a) 
x+y = 29   //  xy = 210
y = 29-x    //  x( 29-x) = 210
y = 29-x    //  -x²+29x-210 = 0 
delta = (29)² - 4(210) = 1    donc Vdelta = 1 
x' = (-29-1) / -2 = 15    //     x" = (-29+1) / -2 = 14 
alors y' = 29-15 = 14   et y" = 29-14 = 15 
4) on a le système suivant
x+y = 30   //  xy = 221
y = 30-x    // x(30-x) = 221 
y = 30-x    //  -x²+30x-221 = 0
delta = b²-4ac = 900 - 884 = 16   alors Vdelta = 4 
x' = (-b-Vdelta) / 2a = (-30-4)/-2 = 17 
x" = (-b+Vdelta) / 2a = (-30+4) / -2 = 13 
y' = 30-17 = 13   et   y" = 30-13 = 17 
longueur = 17     largeur = 13