Bonjour

J'ai un devoir de mathématique de niveau 3 ème, Pouvez-vous m'aider s'il vous plait :

Cinq frères et sœurs ont hérités de cinq terrains carrés dont les mesures des côtés sont cinq entiers consécutifs.
Les Terrains sont assemblés en deux groupes : les trois plus petits terrains d'un côtés d'un chemin, et les deux plus grands terrains de l'autre côté... Ainsi les surfaces de part et d'autre du chemin sont équivalents. Comment trouver les dimensions de chaque terrain ?

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Réponses

2013-09-16T19:28:37+02:00
On sait que nous sommes en présence de 5 terrains (rangez du plus petit au plus grand)

On sait que les terrains forment des carrés donc on sait également que l’aire d’un terrain est égal à C²

On sait que les 5 terrains n’ont pas la même surface

On sait que 3 terrains (les 3 plus petits) sont d’un coté du chemin

On sait que 2 terrains (les 2 plus grands) sont de l’autre côté du chemin

Nous savons également que les mesures des cotés sont cinq entiers consécutifs (soit des chiffres qui se suivent tels que 1-2-3-4-5)

On nomme X le coté du 3ème terrain. On peut donc déduire les cotés des autres terrains :
Terrain 1 (terrain le plus éloigné et le plus petit) : X-2
Terrain 2 : X-1
Terrain 3 : X
Terrain 4 : X+1
Terrain 5 : X+2

Connaissant alors les valeurs des mesures de nos terrains on peut déterminer les surfaces :
Terrain 1 : (X-2)²
Terrain 2 (X-1)²
Terrain 3 : X²
Terrain 4 : (X+1)²
Terrain 5 : (X+2)²

on sait ensuite que la surface des 3 plus petits carrés est égale à la surface des 2 grands soit
Terrain 1 + Terrain 2 + Terrain 3 = Terrain 4 + Terrain 5 ce qui nous donne
(X -2)² + (X-1)² + X² = (X+1)² + (X+2)²
Nous sommes donc en présence d’une équation. Cette équation comporte des identités remarquables. Faisons alors un petit rappel de cours :
L'égalité (a+b)² = a² + 2ab + b²
L'égalité (a-b)² = a² -2ab + b²

Développons chaque identité remarquable (Par souci de compréhension, nous développerons une à une les expressions)
Terrain 1 : (X-2)² = X² - 2*2X + 2² = X² - 4X + 4
Terrain 2 (X-1)² = X² - 2*1X + 1² = X² - 2X + 1
Terrain 3 : X² = X²
Terrain 4 : (X+1)² = X² + 2*1X + 1² = X² +2X + 1
Terrain 5 : (X+2)² = X² + 2*2X +2² = X² + 4X + 4

Les identités remarquables étant développées, nous pouvons revenir à notre équation :
(X -2)² + (X-1)² + X² = (X+1)² + (X+2)² (Développons l’expression)
X² - 4X + 4 + X² - 2X + 1 + X² = X² +2X + 1 + X² + 4X + 4
3X² - 6X + 5 = 2 X² + 6X + 5
3X² - 2X² -6X – 6X + 5 -5 =0
X² - 12 X = 0 Pour résoudre cette équation, il faut factoriser notre expression soit
X (X-12) = 0 alors X = 0 ou X-12 = 0 soit X=0 ou X = 12
Merci beaucoup d'avoir répondu mais malheuresement je n'est rien compris.
Je viens de mesurer les 5 carrés: Terrain 1: 1,4 Longueur et largeur! Terrain 2 : 1,7 pour la longueur et 1,6 pour la largeur! Terrain 3 : 1,8 pour la longueur et la largeur! Terrain 4 : 1,9 pour la largeur et 2 Pour la longueur et enfin pour le terrain 5: 2,2 pour la longueur et 2,1 Pour la largeur !!! Voila donc on peut schématisés ces 5 terrains avec les longueur donné