Bonjour à tous,
Je travail sur un exercice de niveau Terminal sur les suites (en générale) et sur le principe de raisonnent par récurrence, mais n'ayant pas eu de cours sur les suites l'année derniere je bloque un peu dans cette partie du programme.


Voila mon exercice : On considère la suite (Un) définie sur N par :
Uo = 8 et Un+1 = (2/5)Un+3
Démontrer que, pour tout entier naturel n :
Un = 3( \frac{2}{5} )^n+5

J'ai alors commencer par P(n)=Un=3( \frac{2}{5} )^n+5 pour tous n appartient a N

1) Initialisation : Pour n=0, on calcul P(0)= 3( \frac{2}{5} )^0+5 = 8 Donc on en déduit que P(0)=U(0)

2)Hérédité = supposons P(n) vraie pour un rang n \geq 0 donné et montrons qu'alors P(n+1) est vraie

Pour ce rang n \geq 0 on a alors
P(n)=U(n)= 3( \frac{2}{5} )^n+5

Et on veut montrer que
P(n+1)=U(n+1)= 3( \frac{2}{5} )^(n+1)+5
D'ou P(n+1) = 2/5Un+3=3( \frac{2}{5} )^(n+1)+5

On part alors de l'hypothése de recurrence
Un = 3( \frac{2}{5} )^(n+1)+5

D'ou  \frac{2}{5} * [3( \frac{2}{5})^n+5]+3=[ \frac{2}{5}*3( \frac{2}{5})^n + \frac{2}{5} *5 ] +3
 = \frac{6}{5}( \frac{2}5})^n+5

Mais apres cela je suis un peu bloqué. Je ne sais pas comment prouvé que  = \frac{6}{5}( \frac{2}5})^n+5 = 3( \frac{2}{5} )^(n+1)+5

Merci de votre aide, je ne demande pas la réponse mais simplement une aide

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Désolé, le  ne compte pas c'est une erreur de syntaxe
tu es en quoi ?
Terminal

Réponses

2013-09-14T18:51:00+02:00
Moi j'aurais pas fait comme ça, tu supposes Un vraie, donc Un+1=3(2/5)^n+1 + 5
Or t'as déjà une forme de Un+1 donc il suffit de les comparer. Si Un+1 de l'énoncé = Un+1 de la supposition ça démontre Un.
(Je l'ai fait sur papier et ça marche tu remplaces Un par sa valeur dans l'expression (2/5)Un + 3)
Oui merci mais c'est ce que j'ai écrit quand je dis : P(n+1) = 2/5Un+3=3(2/5)^(n+1)+5
Mais c'est apres que je trouve pas comment montrer que les deux sont égaux
nan mais avec l'hypothese de récurrence t'as supposé que (Un) vrai et que du coup (Un+1) aussi, donc si tu montres que le (Un+1) de l'énoncé = (Un+1) supposé ca veut dire que (Un) est vrai
Ah oui en fait j'ai réussi j'ai commencer par develloper le 2/5un+3 en remplacant le Un par celui qu'on connaissait et apres j'ai developper le 3(2/5)^(n+1)+5 et je tombe sur le meme résultat