En utilisant le raisonnement par récurrence :
Démontrer que le nombre de cordes reliant n points distincts d'un cercle ( n \geq 2) est égal à  \frac{n(n-1)}{2}
Démontrer que pour tout entier naturel non nul : 2 ^{3n}-1 est un multiple de 7

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Démontrer que pour tout entier naturel non nul : 2 ^{3n}-1 est un multiple de 7

Réponses

2013-09-08T19:27:28+02:00
Démontrer que pour tout entier naturel non nul :  est un multiple de 7 

Initialisation :
Pour n = 0,  = 2^{3n} -1 = 2^0 -1 = 1-1 = 0 
0 est un multiple de 7 donc cette propriété est vraie au rang n = 0. 

Hypothèse de récurrence :
Supposons que  est un multiple de 7 et démontrons cette propriété au rang n+1. 
2^{3(n+1)} -1 = 2^{3n} * 2^3 -1
                        =  2^{3n} *8 -1
                        =  2^{3n} *(7+1) -1
                        =  2^{3n} *7 + 2^{3n} -1
Par hypothèse de récurrence, 2^{3n} -1 est un multiple de 7 et  2^{3n} *7 est aussi un multiple de 7.

Conclusion :
Par récurrence, pour tout entier naturel n,  2^{3n} -1 est un multiple de 7.