On envisage de régler rapidement , mais avec précision, les feux de croisement d'une automobile. Pour cela, on place le véhicule face à un mur vertical roulant sur une route parfaitement horizontale . Le phare est identifié à un point P, la distance entre le sol et le phare est HP . On considère que le phare émet un rayon lumineux dirigé vers le sol. En l'absence d'obstacle, ce rayon atteindrait le sol au point M. Il rencontre le mur en B.
La distance HM est appelée la portée des feux de croisement.
Consigne de sécurité: On admet que la portée des phares doit être
* d'au moins 30m pour éclairer suffisamment loin
* d'au plus 45m pour ne pas éblouir les autres usagers venant en face .
Dans tous le problème , on a : HA=3m .
1- Montrer que : MA sur MH = AB sur PH . Enoncer la propriété utilisée .
2- En chargeant le coffre, on constate que HP=0.60m et que le rayon lumineux atteint le mur à 0.57m du sol.
a- Risque-t-on d'éblouir les autres automobilistes? justifier la réponse .
b- Calculer la mesure de l'angle HPM , arrondie au dixième de degré , permettant d'éclairer suffisament loin. ( on pourra utiliser la trigonométrie) .

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Réponses

2013-09-02T23:21:23+02:00
1)   Comme on a les points M, A et H
            ainsi que les points M, B et P alignés dans le même ordre
      comme on a aussi (PH) // (BA)
            car ces droites sont toutes deux perpendiculaires à (MA)
      le théorème de Thalès nous apprend que   MA/MH  =  AB/PH

   

2)   a.   Si   HA  =  3,00 m
                  PH  =  0,60 m
                  AB  =  0,57 m


            alors,    MH  =  MA × PH/AB
                                =  (MH − HA) × 60/57
                                =  60/57 × MH  − 60/57 × 3
              3/57 × MH  =  60/57 × 3
                         MH  =  60


            [Vérification :   MA/MH  =  (MH − HA)/MH
                                                 =  (60 − 3)/60
                                                 =  57/60
                                    AB/PH  =  0,57/0,60
                                                 =  57/60]


           Le faisceau risque donc fort d'éblouir les automobilistes
           car étant de 60 m, il dépasse de loin les 45 m.



     b.   Pour éclairer suffisamment loin, il faut que   HM  =  30 m

           Comme on sait que PH  =  0,6 m

           On a donc :   tan HPM  =  HM/PH
                                                =  30/0,6
                                                =  300/6
                                                =  50

           Ce qui nous donne     HPM  =  tan⁻¹ 50  ≈  88,854237162°

           Pour éclairer suffisamment loin, l'angle HPM doit donc faire environ 88,9°