Réponses

2013-08-20T23:35:34+02:00

1.   | Étape                                           |  1  |  2  |  3  |  4  |   5  |
      | Longueur de la spirale en cm          |  2  |  6  | 12 | 20 | 30 |
      | Nombre de points alignés             |  1  |  2  |  3  |  4  |   5  |

 

2.   On peut voir qu'à chaque étape n, on ajoute 2n au nombre obtenu à l'étape précédente.

 

      En effet, pour :

      — n = 1, on a :    0 + 2(1)  =  2

      — n = 2, on a :    2 + 2(2)  =  6

      — n = 3, on a :    6 + 2(3)  =  12

      — n = 4, on a :    12 + 2(4)  =  20

      — n = 5, on a :    20 + 2(5)  =  30

 

      Ce qui fait qu'à chaque étape on a :


               2 (n)  +  2 (n - 1)  +  …  +  2(2)  +  2 (1)

 

      soit

 

               2 (n + n - 1 + … + 2 + 1)

 

      [Par exemple pour n = 5  :   2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)  =  2 × 15 = 30]

 

      Or la somme des n premiers nombre est :   k  =  (n)(n+ 1)/2

 

      La longueur de la spirale au rang n sera donc ici :

 

                                     k   =  2 × [(n)(n + 1)/2]

                                          =  n(n + 1)

 

      Donc la longueur de la spirale est de 870 cm pour n points alignés et l'on a :

 

                                          n(n + 1)  =  870

 

      On peut alors essayer à tâtons :   29 × 30  =  870   donc   n  =  29

      ou par le calcul :

 

 

 

      Or   n(n + 1)  =  870   si   n² + n - 870  =  0

      Pour cette équation, le discriminant est :   1² - 4(1)(-870) = 3481 = 59²

      qui est un nombre positif. Il y a donc deux solutions à l'équation :
     — (-1 - 59)/2(1) = -60/2 = - 30
     — (-1 + 59)/2(1) = 58/2 = 29

     Comme le nombre de points ne saurait être négatif, la solution est donc 29.

 

 

 

     La longueur de la spirale est donc de 870 cm s'il y a 29 points alignés.